series de fourier

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SÉRIES DE FOURIER
Em 1822 o matemático francês Joseph Fourier1 apresentou sua obra Theorie Analytique de la Chaleur, onde apresenta um tratamento matemático sobre o problema da condução térmica.
Desde o século XVII, com o desenvolvimento do cálculo diferencial, físicos e matemáticos conseguiram descrever inúmeros fenômenos por meio das equações diferenciais. Em seu tratado,
Fourier não apenas apresenta uma solução para a equação do calor, mas também uma forma para resolver inúmeras equações diferenciais parciais.

5.1 Séries de Fourier
Uma série de Fourier, é a representação de uma função periódica como uma soma de funções periódicas simples, particularmente, co-seno e seno. Para que possamos escrever uma função periódica com os resultados discutidos por Fourier, definiremos primeiro uma série trigonométrica. 5.1.1 Definição
Chama-se

série

trigonométrica

a

uma

série

da

forma:

a0
+ a1 cos( x ) + b1 sen( x) + a 2 cos(2 x) + b2 sen(2 x ) + ........ ou, sob uma forma mais compacta:
2
a0
+
2

∞

∑

n= 1

(a n cos(nx) + bn sen(nx))

(1)

As constantes a 0 , a n , bn (n = 1,2,3,...) são os coeficientes da série trigonométrica.
Se a série (1) convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que sen(nx) e cos(nx) são funções periódicas de período 2π. Neste livro, não trataremos sobre
1

FOURIER,Jean Baptiste Joseph. (1768 – 1830). Estudou a teoria matemática de condução do calor. Estabeleceu equações diferenciais parciais referentes à difusão do calor e solucionou-as usando séries de funções trigonométricas. convergência ou divergência de séries, tal estudo, demandaria um capítulo específico para tal.
5.1.2 Determinação dos coeficientes da série
Suponhamos que a função f(x), periódica e de período 2π, pode ser representada por uma série trigonométrica convergente para f(x) no intervalo (-π,π), isto é, que seja a soma desta série: f ( x) =

∞

a0
+
2

∑

n= 1

(a n