Séries de Fourier
1014 palavras
5 páginas
Séries de FourierProfa. Maria Suzana Balparda
DFM – Departamento de Física e Matemática
CEFET-MG
1º semestre/2010
Jean Baptiste Joseph Fourier
1768 – 1830 , matemático e físico francês
Principal obra:
“Teoria Analítica do Calor” publicada em 1822
Ao estudar a equação da distribuição e propagação do calor, Fourier introduziu a idéia, que ele afirmou ser verdadeira, sem prova, de que toda função periódica
(contínua ou não) pode ser igualada a uma soma de senóides, finita ou infinita.
Séries de Fourier
Motivação e utilidade:
L
L
L
•Aproximar funções periódicas por soma de funções senoidais
•Utilização das senóides como protótipo de função periódica
•Uso em resolução de equações diferenciais parciais
•Extensão de função definida em intervalo finito à reta real
•Estudo das funções periódicas pares ou ímpares
•Base para o desenvolvimento da Transformada de Fourier
L
Construção da série de Fourier
Consideramos as senóides
nπ x nπ x
S n ( x ) = a n cos(
) + bn sen(
)
L
L
2L n período Tn =
: 2L , L , 2L/3 , L/2 , ... frequência n 2L
Problema de Fourier:
Dada uma função f (x) , periódica de período T = 2L, determinar os coeficientes an e bn das senóides Sn(x) para que tenhamos
f(x) =
∞
∑
n= 0
S n (x)
πx πx S1 ( x ) = a1 cos( ) + b1 sen( )
L
L
Função Senoidal
1
1
0.8
0 .8
Exemplos
0.6
0 .6
0.4
0 .4
n=1
L=π
0.2
0 .2
0
0
-0 . 2
-0 .2
-0 . 4
-0 .4
-0 . 6
-0 .6
-0 . 8
-0 .8
-1
-3
-2
-1
0
1
2
-1
3
-3
-2
-1
cos(x)
0
1
2
3
sen(x)
Exemplos de senóides S1(x), de período 2L
(1/2)cos(x)-sen(x)
-(1/2)cos(x)+(3/2)sen(x)
-(2)cos(x)-(3/2)sen(x)
2 .5
2
1 .5
2
1 .5
1
1 .5
1
1
0 .5
0 .5
0
0 .5
0
0
-0 . 5
-0 . 5
-0 . 5
-1
-1
-1 . 5
-1
-1 . 5
-1 . 5
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2
-2
-2 . 5
-3
-2