Serie de fourier

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SÉRIES DE FOURIER



Rafael Morada UFF, Niterói – RJ, Brasil. rafaelmorada@hotmail.com



RESUMO: O objetivo deste trabalho é inserir o leitor no universo das Séries de Fourier. Nele contém todas as informações necessárias para o pleno entendimento do assunto, como material teórico, exemplos e exercícios resolvidos. Inicialmente estudada por Jean Baptiste JosephFourier no século XIX, essas séries infinitas auxiliam na representação de qualquer função periódica pela sobreposição de harmônicas.



ABSTRACT: The objective in this work is to insert the reader into the universe of Fourier Series. On him contain all informations needed to the real understanding about this subject, like theorical material, examples, and solved exercises. Initially studied byJean Baptiste Joseph Fourier on nineteenth century, this infinity series assist in the representation of any periodic function like a harmonic.



Palavras-chave: Séries de Fourier; Séries infinitas; funções periódicas.



INTRODUÇÃO

O estudo das Séries de Fourier facilita o entendimento de algumas funções como a seno e cosseno. Utiliza-se de teoremas importantes visando descrever umafunção em um determinado intervalo, com a finalidade de chegar a valores para a convergência das series.






























Séries de Fourier




Funções Periódicas

Uma função f(x) é dita periódica com período T se f(x + T) = f(x) para qualquer x, do que decorre que f(x + nT) = f(x) para n inteiro n = 0, ± 1, ± 2, ....

Exemplos:

1)Se f(x) = tan x, temos que tan (x + π) = tan x, logo T = π.

2) Achar o período da função f(x) = sen nx

Se a função for periódica

sen n(x + T) = sen nx

sen nx cos nT + sen nT cos nx = sen nx

cos nT = 1 cos nT = cos 2π

sen nT = 0 sen nT = sen 2π

Logo, [pic]Logo, [pic]

Obs: Se duas funções g(x) e h(x) possuem período T então a função f(x) = a g(x) + b h(x) é periódica com período T.

Série Trigonométrica

É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x por coeficientes, que não dependem da variável x e são admitidos reais.[pic]

ou[pic] (*)

Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções periódicas de período 2π, a soma S(x) será uma função periódica de período 2π. De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em umintervalo de comprimento 2π, por exemplo: (-π, π) ou (0, 2π).

As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica.

[pic]

Esta representação é possível se a f(x) satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet.

Condições de Dirichlet

Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que umafunção possa ser representada por uma série trigonométrica, as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da série para a função.

1ª) A função f(x) deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo (-π, π), com exceção, talvez, de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas).

Exemplos:

[pic]

[pic][pic]

Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x = 0

Contra-exemplo:

[pic] no intervalo (0, 2π)

Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto t = 3

2ª) Efetuando-se uma partição no intervalo (-π,π) em um número finito de sub-intervalos, a função f(x) em cada um deles será monótona. A função f(x) tem somente um número finito de...
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