Series de fourier
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SERIES DE FOURIERSERIES DE FOURIER. Développement en série de Fourier. I DEFINITIONS. 1) Série de Fourier.
Soit f une fonction périodique, de période de Fourier de f, la série trigonométrique: 2) Théorème de Fourier.
intégrable sur tout fermé de R, on appelle série
Toute fonction périodique f, non sinusoïdale, continue sur tout intervalle = ( sauf éventuellement en un nombre fini de points de discontinuité de première espèce ) et dérivable sur cet intervalle, peut se décomposer en une somme infinie de fonctions sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples de celle de la fonction f: f(t) = A0 + Y1 sin( w t – j 1) + Y2 sin(2w t – j 2) + ... + Y n sin(n w t – j n) + ... .
A0 = Terme constant, valeur moyenne (en mathématiques on utilise aussi Y1 sin(w t – j 1) = terme fondamental (harmonique de rang 1). Y2 sin(2w t – j 2) = terme harmonique de rang 2. Yn sin(nw t – j n) = terme harmonique de rang n. ou encore avec un(t) = Yn sin(n w t – j n ) = An cos(nw t) + Bn sin(nw t). An = Yn cosj n Yn =
).
Bn = Yn sinj n j n =
.
Remarque : La série de Fourier est convergente sur R.
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3) Ecriture complexe.
un (t) =
+
=
+
en posant Cn = = Cn comme = Cn + = +
d’où f(t) = A0 +
en posant C0 = A0 = II CALCUL DES COEFFICIENTS.
On prendra 1) Calcul de A0 .
et l’intervalle
=
.
=
+
dt.
or
=
=0
= A 0.
= A0.T .
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2) Calcul de An.
Calculons
=
= In Jn
In = si In = 0
.
si
In =
=
=
.
Jn =
=0
n et p.
D’où
=
= A n.
.
double de la valeur moyenne de f(t)cosn w t.
3) Calcul de Bn .
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On calcule de même et
.pÎN
double de la valeur moyenne