Metodo dos elementos finitos

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UBALDO YANCACHAJLLA TITO

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20/07/2007

EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
El método mas difundido de cálculo de estructuras complejas es el MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (FEM 1 ), su particularidad consiste en que una construcción que es un continuo, se cambia por un análogo, que esta compuesto de pequeños cubos, de un número finito de bloques ELEMENTOS, el comportamiento de loscuales es posible hallar a priori. La interacción entre elementos nos da la posibilidad de representar la cartina común del sistema deformado.

FIGURA 1 En la figura 1 se representa una estructura compuesta de un panel y refuerzos longitudinales y circulares La construcción de la membrana puede ser formada de un conjunto de elementos simples; de membranas cilíndricas rectangulares 1, barrarecta 2, barra curva 3. Las características de cada de estos elementos se determina a priori. En la figura se representa los puntos nodales A, B, C, D, por los cuales los elementos se unen en un sistema común. El estado tensional de tal construcción compleja puede se determinado con ayuda de FEM El método de los elementos finitos resuelve gran cantidad de problemas de resistencia, estabilidad ydinámica de las construcciones. El se usa para el análisis de fenómenos no lineales, con su ayuda se logra resolver problemas multidimencional complejos de optimización y otros. La ventaja del método y su universalidad: las posibilidades de utilizar elementos de distintos tipos, seleccionar una región arbitraria, simplicidad en asumir la construcción de elementos de alta exactitud. En la variante delmétodo, que se desarrollara abajo – método de los desplazamientos, -durante la unión de los elementos las exigencias de logran de las condiciones de contorno naturales no es obligatorio.

Este muy conocido variante del MEF utiliza el principio de los desplazamientos virtuales En forma matricial para un cuerpo de tres dimensiones se puede representar en la forma siguiente

1

FINITE ELEMENTMETHOD

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T T T ∫∫∫ {σ } {δε }dxdydz = ∫∫∫{q} {δu}dxdydz + ∫∫ {p} {δu}dS

Esta misma ecuación puede ser escrita de la siguiente manera

∫∫∫ {δε} {σ}dxdydz
T

=

∫∫∫ {δu} {q }dxdydz + ∫∫ {δu} {p}dS
T T

(1)

Donde los vectores esfuerzo y deformación son iguales

{σ } = {σ xσ yσ zτ xτ yτ z }T

{ε } = {ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx }TLos vectores de fuerza volumétrica y superficial y el vector desplazamiento son los siguientes:

{q} = {XYZ }T {p} = {p x p y p z }T {u} = {uvw}T
La condición de equilibrio (1) no depende de la propiedad del material y se cumple tanto en los sistemas lineales y no lineales. Para cuerpos elástico- lineales, que tienen deformación inicial, la ecuación física toma la siguiente forma

(3)

{σ}= D {ε}− D {εo }
D - Matriz de constantes de elasticidad

(4)

{ε o } -

Vector de las deformaciones iniciales

El rol de las deformaciones iniciales juega, en particular la dilatación por temperatura Remplazando la ecuación (4) en la ecuación (1)

∫∫∫{δε }

T

D {ε }dxdydz = ∫∫∫ ({δε }T D {ε o }dxdydz + {δu}T {q})dxdydz + ∫∫ {δu}T {p}dS

(5)

Esta condición se cumple tanto paraun elemento separado, como para todo el sistema.

∑ [{δε }
n i =1

T

D {ε }dxdydz = ∑
i i =1

]

n

[∫∫∫ ({δε }

T

D {ε o }dxdydz + {δu} {q})dxdydz + ∫∫ {δu} {p}dS
T T

]
i

(6)

Donde n es el número de elementos El método de los elementos finitos utiliza distintos procedimientos de los métodos variaciónales. En la variante del método que vemos, también en el métodoRELEI- RITZA, es necesario tener un campo de desplazamientos, pero no en toda la región, a solamente en los limites del elemento. Los desplazamientos se dan en forma de polinomio en grados de x, y, z

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[A] {α}

{u} = [A] {α }
- Matriz que depende de las coordenadas - Vector de coeficientes del polinomio de la función de desplazamiento...
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