Matrizes, determinantes e sistemas lineares

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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

CAPÍTULO 1 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

1 MATRIZES

HISTÓRICO O pai das matrizes foi Cayley que, em 1850 divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. Elas surgiram para a resolução de Sistemas Lineares. Mas foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. Noentanto, o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a Lagrange em 1790. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy que as chamavam de tabelas. O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes emimportância.

Definição: Chamamos de Matriz, a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotada por
A = (a ij ) mxn , onde o par de índices "ij" , representam a posição de cada elemento a ij dentro da matriz, sendo que o índice "i" indica a qual linha pertence o elemento e "j" a qual coluna. O par de índices "mxn", representam o tamanho da matriz, sendo que o índice "m" indica a quantidade delinhas da matriz e "n" a quantidade de colunas. Toda

 a 11   a 21 matriz pode ser representada, genericamente, por: A =  ...  a  m1

a 12 a 22 ... a m2

... a 1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn  

Indicaremos por M mxn (ℜ) o conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e com elementos reais. Se m = n, a matriz será chamada de matriz quadrada de ordem n e representada por M n (ℜ) ousimplesmente M n . Matriz quadrada é aquela que tem a mesma quantidade de linhas e colunas.





Se m ≠ n, a matriz será chamada de matriz retangular de ordem mxn e representada por

M mxn (ℜ) ou simplesmente M mxn .

2



Se m = n = 1, a matriz representa um único elemento, ou seja, M 1x1 = (a 11 ) = a 11 . Assim, todo número real pode ser representado por umas matriz de ordem1x1.

Exemplo (1): Escrever a matriz A = (a ij ) 2 x 3

i + 2 j , se i > j  tal que a ij = i j , se i = j 2i − j , se i < j 

a Solução: A matriz A = (a ij ) 2 x 3 é representada por: A =  11 a  21

a 12 a 22

a 13   . Então: a 23  

a 11 = i j = 11 = 1 ; a 22 = i j = 2 2 = 4 , pois i = j a 12 = 2i − j = 2 ⋅1 − 2 = 0 ; a 13 = 2i − j = 2 ⋅1 − 3 = −1 ; a 23 = 2i − j = 2 ⋅ 2− 3 = 1 , pois i < j a 21 = i + 2 j = 2 + 1 ⋅1 = 3
 1 0 − 1  Portanto: A =  3 4 1   1.1 Matrizes Especiais •
Matriz Nula: é a matriz O mxn , na qual todos os seus elementos são nulos, ou seja:

0  0 A= ...  0  •

0 ... 0   0 ... 0  ... ... ...   0 ... 0  

Matriz Linha: é toda matriz de ordem 1xn, ou seja: A = (a 11

a 12

... a 1n ) .



 a 11     a 21 Matriz Coluna: é toda matriz de ordem mx1, ou seja: A =  ...    a   m1   a 11  a =  21 ...  a  n1 a 12 a 22 ... a n2 ... a 1n   ... a 2n  . Os ... ...   ... a nn  



Matriz Quadrada: é toda matriz de ordem nxn, ou seja: A nxn

elementos onde i = j formam o que chamamos de diagonal principal. Matriz Triangular: é uma matriz quadrada, e pode apresentar dois casos;

• 3

a) Triangular Inferior: é tal que a ij = 0 se i < j ⇒ A nxn

 a 11  a =  21 ...  a  n1  a 11   0 = ...   0 

0 a 22 ... a n2 a 12 a 22 ... 0

... 0   ... 0  ... ...   ... a nn   ... a 1n   ... a 2 n  ... ...   ... a nn  

b) Triangular Superior: é tal que a ij = 0 se i > j ⇒ A nxn



∀x ∈ ℜ , se i = j Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada, naqual cada a ij =  ⇒ 0 , se i ≠ j

A nxn

 a 11   0 = ...   0 

0 a 22 ... 0

... 0   ... 0  ... ...   ... a nn  



1, se i = j Matriz Identidade: é uma matriz quadrada, denotada por Id n , na qual cada a ij =  ⇒ 0 , se i ≠ j 1  0 = ...  0 
0 ... 0   1 ... 0  ... ... ...   0 ... 1  

A nxn



Matriz Transposta: Dada uma matriz A = (a ij ) mxn...
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