Integrais

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A matemática é usada como uma ferramenta essencial em muitas áreas do conhecimento, tais como engenharia, medicina, física, química, biologia, e ciências sociais. A matemática aplicada é um ramo da matemática que se ocupa de aplicações do conhecimento matemático em outras áreas do conhecimento, às vezes leva ao desenvolvimento de um novo ramo, como acontece com Estatística ou Teoria dos jogos. Oestudo de matemática pura, ou seja, da matemática pela matemática, sem a preocupação com sua aplicabilidade, muitas vezes mostrou-se útil anos ou séculos adiante, como aconteceu com os estudos da Teoria dos números feitos pelos gregos, úteis, respectivamente, em descobertas sobre astronomia feitas por Kepler no século XVII, ou para o desenvolvimento de segurança em computadores nos dias de hoje.Na administração, a matemática se preocupa em simular situações reais vividas dia a dia dentro das organizações, criando modelos matemáticos de resolução de problemas e de tomada de decisões; buscando assim através desses modelos representar a realidade. Na Teoria Matemática, o modelo é usado geralmente como simulação de situações futuras e avaliação da probabilidade de sua ocorrência. A vantagem,do estudo matemático na administração consiste então em manipular situações difíceis e complexas reais por meio da simplificação da realidade.
Na área da administração, existem dois campos muito importantes, as derivadas e as integrais. A função integral foi originalmente criada para determinar uma área sob a curva no plano cartesiano e naturalmente surgiu em aplicações nos problemas da Física;por exemplo determina-se a posição de instantes do objeto e velocidade em todos os instantes. Esse processo para o cálculo de uma função integral se chama integração. Já a derivada representa uma taxa de variação instantânea na função; essa função é derivada quando está próximo de seu domínio, comportando – se como função linear, sendo assim próximo de uma reta.
As integrais são classificadas porindefinidas, de substituição e definidas.
Integrais Indefinidas:
Da mesma forma que a adição e a  subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.
Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).
Exemplos:
1. Se  f(x) = , então  é a derivada de f(x).Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .
   
2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3.
   
3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.
   
   Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integraisindefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é  x3+C, onde C é uma constante real.
 
 Propriedades das integrais indefinidas

Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estasduas idéias. Assim, nesta seção, será introduzida a idéia de integral, mostrando sua relação com a derivada.
Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x)+C é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por

onde

− é chamado sinal de integração;
f(x) − é a função integrando;
dx – a diferencial que serve para identificar a variável de , integração;
C – é aconstante de integração.

    São imediatas as seguintes propriedades:
1ª.    , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.
2ª.   , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.
3ª.    , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.
 
 Integração por substituição
Seja expressão . 
Através da substituição u=f(x) por...
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