Integrais

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Unidade IV – Integrais

Competência
• Calcular áreas sob uma curva.
Objetivos
• Reconhecer uma função integrável e sua forma de integração.
• Diferenciar integral indefinida de integral definida.













































Aula 01

A integral representa um dos conceitos mais importantes da Matemática. Elasegue duas linhas com interpretações distintas: tem um procedimento inverso à diferenciação e é um método eficaz no cálculo de áreas sob uma curva. Devemos destacar que o cálculo de áreas de figuras planas, cujos contornos são segmentos de reta, para nós, é bastante familiar. A integração surgiu historicamente da necessidade de se calcular áreas de figuras cujos contornos são não retilíneos. Porém,vale realçar que o cálculo integral, não se restringe apenas à determinação dessas áreas. São inúmeras as aplicações da Integral. Como operação, a integração é a inversa da diferenciação. Neste contexto, devemos considerar que a integral é um processo para se achar uma função a partir do conhecimento de sua derivada.

Primitiva de uma função

Dada a função f, definida num intervaloreal, chamamos de primitiva de f à função g, tal que g’(x) = f(x).
Assim, se f(x) = 2x então as funções:
g(x) = x²; g(x) = 2x + 4; g(x) = 2x – 10, são algumas das primitivas de f. Devemos considerar que as diversas primitivas de uma função f, diferenciam-se por uma constante real. Assim, podemos estabelecer a família de primitivas de f como sendo g(x) = x² + c, onde cé um número real.
Exemplo
Calcule a primitiva das funções abaixo:

a) f(x) = 3x² [pic] g(x) = x³ + c

b) f(x) = senx [pic] g(x ) = cosx + c

c) f(x) = [pic] [pic] g(x) = [pic]x + c
Integral Indefinida

O processo pelo qual se determina a primitiva de uma função dada denominamos de Integral, assim, dada à primitiva f(x)+ c de uma função F(x) a relação entre f e F é expressa por:

[pic] , que se lê na parte esquerda, integral de F(x) com relação à x, igual a integral definida que é f(x) + C.
Fórmulas de Integração;

As principais funções têm suas integrais diretamente obtidas por meio das regras de derivação. Assim:

1. [pic] = [pic] + C

2. [pic] = senx + C

3. [pic] = - cosx + C

4.[pic] = [pic] u + C

5. [pic] = [pic] + C

Exemplos:

Questão 1. [pic] = [pic] = [pic] + C

Questão 2. [pic] = senx + c

Questão 3. [pic] = [pic] + C

Propriedades da integral definida

Se f e g são funções contínuas e K um número real então:

1. [pic] = K. [pic]

2. [pic] = [pic]

3. [pic] = [pic]

Exemplos:

Questão 1. [pic] = [pic] = [pic]

Questão 2.[pic] = [pic] = [pic]

Questão 3. [pic] = [pic] = [pic]

Questão 4. [pic] = 5[pic] = 5e[pic] + 3 senx + C

Questão 5. [pic] = [pic] - [pic] = [pic]

Questão 6. [pic] = [pic] = 3[pic]. [pic]

Questão 7. [pic] = [pic] = 3x³ + 12x² + 16x + C

Questão 8. [pic] = [pic] = [pic] =

= 2x[pic]+ [pic] + [pic]


O método de substituição no cálculo da integral


Emalguns casos para se encontrar a integral do tipo [pic], torna-se conveniente, fazer uma substituição de variável. Por exemplo: seja calcular
[pic] Fazendo u = (x² + 1), teremos [pic], onde du = 2xdx e.
dx =[pic] , substituindo-se na integral acima: [pic] = [pic] = [pic] , fazendo a volta temos: [pic][pic].

Exemplos:

Questão 1. [pic]
Solução: fazendo u = x – 5 temos [pic] ou du =dx, substituindo-se:

[pic] , então; [pic]

Questão 2. [pic]

Solução: fazendo u = x² - 3, temos du = 2x dx [pic] dx = [pic] então

[pic]dx = [pic] = [pic] = [pic]

Questão 3. [pic]

Solução : u = x³ - 1 [pic] du = 3x² dx [pic] dx = [pic]

[pic] = [pic] = [pic] = [pic]

Questão 4. [pic]

Solução: u = cosx [pic]...
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