Grafico de derivada

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Gráficos

1) f(x) = 8x²-x^4

a) Domínio: Reais
b) Intersecção com os eixos:

Int. eixo x -> y=0
8x²-x^4 = 0
x²(8-x²) = 0
x=0, ou
x²=8
x= +/-raiz(8)
x= +/-2raiz(2)

P1 = (0,0) eP2 = (+/-2raiz(2),0)

Int. eixo y -> x=0
y = 8*0²-0^4
y =0

P = (0,0)

c)Pontos Críticos:
f(x) = 8x²-x^4
f'(x) = 2*8x-4x³
f'(x) = 16x-4x³

igualar a zero:

16x-4x³ = 0

x(16-4x²)=0x=0, -> p.c ou
16-4x²=0
4x²=16
x = raiz(16/4)
x = +/- 2 -> p.c

testar os pontos críticos no f(x):
p/x= -2:
f(-2) = 8x²-x^4
f(-2) = 8*(-2)²-(-2)^4
f(-2) = 32-16
f(-2) = 16
parordenado: (-2,16)

p/x= 2:
f(2) = 8x²-x^4
f(2) = 8*2²-2^4
f(2) = 32 - 16
f(2) = 16
par ordenado: (2,16)

p/x= 0
f(0) = 0

par ordenado: (0,0)

d) Crescimento e descrescimento: (testar valoresmaiores/menores que os pontos críticos e olhar o sinal de f'(x)):

valor < (-2):
f'(x) = 16x-4x³
f'(-3) = 16*(-3)-4*(-3)³
f'(-3) = -48-(-108)
f'(-3) = 60 < 0 (sinal positivo antes do -2)valor > (-2):
f'(x) = 16x-4x³
f'(-1) = -16*(-1)-4*(-1)³
f'(-1) = -16+4
f'(-1) = -12 < 0 (sinal negativo depois do -2)

valor > 0:
f'(x) = 16x-4x³
f'(1) = 16*1-4*1³
f'(1) = 16-4f'(1) = 12 (sinal positivo depois do 0)

valor > 2:
f(x) = 8x²-x^4
f(3) = 8*9-81
f(3) = -9 (sinal negativo depois do 2)

portanto: (-2,16) -> ponto de máximo
(0,0) - > pontode mínimo
(2,16) -> ponto de máximo

A função cresce: (-inf, -2); (0,2)
A função decresce: (-2,0); (2,+inf)

e) Concavidade: (verificar o sinal da f''(x))
f'(x) = 16x-4x³
f''(x) =16 - 12x²

igualar a zero:

16-12x²=0
12x²=16
x²=16/12
x²=4/3
x=raiz(4/3)
x= +/- 2raiz(3)/3

valor < (-2raiz(3)/3) = (-1,15):
f''(x) = 16 - 12x²
f''(x) = 16 - 12*(-2,15)²
f''(x) =16 - 12*4,6225
f''(x) = 15 - 55,47
f''(x) = -39,47 (sinal negativo antes do ponto)

valor > (-2raiz(3)/3):
f''(x) = 16 - 12x²
f''(x) = 16 - 12(-0,15)²
f''(x) = 16 - 12*(0,0225)
f''(x) = 16...
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