Trabalhos

Terceira Parte

ALGUMAS APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Capítulo 11 – Exame do comportamento de uma função por meio da derivada

Introdução

A função derivada, , está intimamente relacionada com a função f. Dizemos, por exemplo, que é a derivada de f e que uma função primitiva de . Assim, podemos esperar que ter informações a respeito de nos permite ter também informações sobre a função . Muitas das aplicações que poderemos fazer do Cálculo dependerão de nossa capacidade de analisar a derivada e, a partir das informações colhidas nessa análise, tirar conclusões sobre a função primitiva .
Neste capítulo, investigaremos como usar a derivada primeira e a derivada segunda para analisar o comportamento de uma função.

11.1 O que nos diz a respeito de

A derivada nos diz se a função primitiva está crescendo ou decrescendo. Também nos diz em que ponto a função para de crescer e começa a decrescer e vice-versa. Vamos observar os gráficos que estão na Figura 11.1

Figura 11.1
No gráfico da esquerda, A é um ponto crítico da função ; antes de A a inclinação do gráfico é negativa e, por isso, a função é decrescente; depois de A, a inclinação do gráfico é positiva e, portanto, a função é crescente. No ponto A, ocorre uma mudança brusca na inclinação do gráfico: ela pula de um valor muito grande para um valor próximo de zero; isso quer dizer que não está definida ou não existe.
Podemos registrar essas observações, feitas no gráfico, por meio da Tabela 11.1.

Tabela 11.1
De modo semelhante, no gráfico da direita, D é um ponto crítico da função ; antes de D, a inclinação do gráfico é negativa, quer dizer que a função é decrescente; depois de D, a inclinação do gráfico é positiva, significa que a função é crescente. No ponto D, a inclinação do gráfico é zero, ou seja, .
Podemos apresentar os resultados, colhidos nas observações feitas no gráfico, como indicado na Tabela 11.2.

Tabela 11.2

Na Figura 11.2, estão duas outras funções. A análise de cada