Diagrama de bode

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ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Aula 10 – Resposta em Freqüência de Sistemas Lineares
Diagramas de Bode
Introdução
Diagramas de Bode
Escala Logarítmica de Amplitude
Escala Logarítmica de Freqüência
Análise dos Termos das Funções de Transferência
Composição do Diagrama de Bode
Sistemas Linearesde Fase Não Mínima
Problemas Propostos

Introdução
O uso de diagramas de Bode na análise da resposta em freqüência de sistemas lineares foi
desenvolvido por H.W. Bode e introduzido em 1940 no estudo das características em freqüência de
amplificadores eletrônicos. A técnica desenvolvida por Bode foi, posteriormente, largamente
disseminada para análise e projeto de sistemas de controle. Emlinhas gerais, diagramas de Bode
possibilitam uma aproximação efetiva da resposta em freqüência de sistemas complexos pela
combinação da resposta de fatores de primeira e segunda ordem.
Embora atualmente os engenheiros responsáveis pelo desenvolvimento de projetos de sistemas
de controle tenham a sua disposição poderosas ferramentas computacionais que diminuem
sobremaneira a necessidade dotraçado manual dos gráficos de módulo e fase que compõe os diagramas
de Bode, tal técnica ainda é bastante utilizada pela sua facilidade, rapidez e quantidade de informações
que se pode obter de um dado sistema sob análise de forma bastante simplificada.

Diagramas de Bode
O método proposto por Bode, é constituído por dois gráficos. O primeiro gráfico, relacionado
a magnitude da função detransferência G ( jω) é traçado em função da freqüência em escala log-log.
O segundo gráfico, relacionado a fase de G(jω), também é traçado em função da freqüência, porém em
escala linear-log. Esta estratégia permite-nos traçar diagramas de resposta em freqüência sistemas de
ordem elevada, adicionando-se separadamente os gráficos relativos a cada um termos de primeira e
segunda ordem que compõe G(jω).Como exemplo, consideremos a seguinte função de transferência:
G 1 (s ) =

(s + z )
(s + p )

(10.1)

Admitindo s=jω, pode-se rescrever (10.1) na seguinte forma
G 1 ( jω) = G 1 ( jω) cos φ1 + j G 1 ( jω) sen φ1

(10.2)

com a magnitude dada por
G 1 ( jω) =

z 2 + ω2
p 2 + ω2

Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner

(10.3)

1

ANÁLISE DE SISTEMAS DECONTROLE
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
e com a fase dada por
ω
ω
− arc tan
(10.4)
z
p
No caso geral de uma função de transferência com “n” pólos e “m” zeros, o módulo será
calculado
de acordo com (10.4), isto é
φ1 = arc tan

m

G ( jω) = K



(z i ) 2 + ω 2



2

i =1
n

(10.5)
(p j ) + ω

2

j=1sendo a fase, dada pela diferença das somatórias das contribuições de fase cada um dos “m” zeros e “n”
pólos da G(jω), ou seja
m

ω

n

ω

i =1

φ(G ( jω) ) =

i

i =1

i

∑ arc tan z −∑ arc tan p

(10.6)

Pela análise da equação (10.5) é direto concluir-se a seguinte relação
m

log 10 G ( jω) = log 10 K +



log 10

(z i )2 + ω 2

i =1

n



∑ log

10(p i )2 + ω 2

(10.7)

j=1

justificando-se a idéia de representar o gráfico de magnitude de G(jω) em escala log-log. Através das
equações (10.7) e (10.6) pode-se então concluir que a resposta em freqüência completa de uma função
de transferência genérica G(jω) pode ser obtida através da somatória da resposta em freqüência de cada
dos fatores que a compõe.

Escala Logarítmica deAmplitude
Os gráficos de magnitude nos diagramas de Bode são freqüentemente apresentados utilizando
no eixo das ordenadas a escala em decibel. O “bel”, unidade estabelecida por pesquisadores dos
Laboratórios Bell em homenagem a Alexander Graham Bell, é definido como logaritmo na base 10 do
quociente de dois níveis de potência. Como na prática esta unidade era muito grande, definiu-se por
1...
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