Exercicios 1

GAAL - Lista de Exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Considere os seguintes vetores em R3 . V1 = (1, −1, 1) V2 = (4, −2, 0) V3 = (0, −1, 2). (a) Estes vetores s˜ao LI ou LD? (b) Caso sejam LD, expresse um deles como combina¸c˜ao linear dos demais. Exerc´ıcio 2: Sejam U , V e W vetores quaisquer de Rn . Mostre que os vetores R = U + 3V − 2W , S = 4U + 7V + 2W e T = 5U + 8V + 4W s˜ao linearmente dependentes exibindo explicitamente uma combina¸c˜ao linear nula (n˜ao trivial) entre R, S e T . Exerc´ıcio 3: Considere o seguinte subespa¸co de R3 . W = {(a − b + c, 2a + b + 5c, b + c) ∈ R3 , ∀ a, b, c ∈ R}. (a) Determine uma base e a dimens˜ao de W . (b) Complete esta base at´e uma base de R3 . Exerc´ıcio 4: Considere o seguinte subconjunto de R3 . W = {(a − b + 5c, 2a + 3b, a + 4b − 5c) ∈ R3 , ∀ a, b, c ∈ R}. Ele ´e um subespa¸co de R3 ? Se for, determine uma base ortogonal para W . Exerc´ıcio 5: Considere o seguinte subconjunto de R3 : W = V ∈ R3 tal que V ´e ortogonal ao vetor V0 = (2, −1, 1) . Descreva geometricamente este conjunto W e determine sua equa¸ca˜o geral. Determine tamb´em um par de vetores unit´arios em W e que sejam perpendiculares entre si, ou seja, determine uma base ortonormal de W . Exerc´ıcio 6: Se V1 = (1, 0, 0, −1) e V2 = (1, 1, 1, 0), considere o seguinte subespa¸co W de R4 : V ∈ W se, e somente se, V ´e ortogonal a V1 e V ´e ortogonal a V2 . (a) Calcule uma base e a dimens˜ao de W . (b) Os vetores V1 e V2 e V3 = (4, 3, 3, −2) s˜ao LI ou LD?…

utilizando o Método de Eliminação Gaussiana Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 Sistema Homogêneo Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes Exercícios Respostas 24 24 25 25 26 28 37 38 39 40 ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição Subespaço Vetorial Combinação Linear Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Vetores Linearmente Independentes e Dependentes Base e…

Lineares abaixo: a) Resp: Impossível b) Resp: Possível e indeterminado c) Resp: Possível e determinado 3) Mostre que os seguintes subconjuntos do R4 são subespaços vetoriais: a) b) 4) Seja V = R3 e os vetores u = (3, -1, 1), v = (1, 2, -1) e w = (2, -10, 6). Verifique se w é combinação linear de u e v. 5) Considere no R3 , os vetores u = (1, -3, 2) e v = (2, 4, -1). a) Escreva o…

Operações com Matrizes Classificação de Matrizes Quadradas Operações Elementares Matriz Equivalente por Linha Matriz na Forma Escalonada Aplicações de Operações Elementares Exercícios Respostas Apêndice A – Determinante 1 2 2 3 9 11 11 11 12 15 18 19 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Definição Matrizes Associadas a um Sistema Linear Classificação de Sistemas Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2…

1. O vetor 5 + 3x + 2x2 ∈ P2 [x](R) é combinação linear dos vetores 1 + x + x2 e 3 + x ? 2. Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D. (i) S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} ⊂ R3 . (ii) S = {1 + 2x, x + x3 , x2 + x3 } ⊂ P3 [x](R). 1 0 1 1 (iii) S = , −1 2 0 1 0 −1 2 1 , , 1 8 0 5 . (iv) S = {(−1, 1, 0), (0, 1, −2), (−2, 3, 1)} ⊂ R3 . (v) S = {(1, 2, −1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2, −1, 1)} ⊂ R3 . (vi) S = {2x + 2, −x2 + x + 3, x2 + 2x}…

+ b 2 a2 − b2 c 2 a3 + b 3 a3 − b3 c 3 1 = −2 a1 b 1 c 1 a2 b 2 c 2 . a3 b 3 c 3 5) Considere os vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). a) Determine e1 × e2 , e2 × e3 , e3 × e1 , e2 × e1 ; b) Os vetores e1 × (e1 × e2 ) e (e1 × e1 ) × e2 s˜ao iguais? 6) Calcule as ´areas dos paralelogramos gerados pelos seguintes vetores: a) u = (2, 1, 3), v = (−1, 2, −1); b) u = (3, −2, 0), v = (−1, 0, 0); c) c) u = (1, 2, 1), v = (3, 1, −1). 7) Dados vetores u, v e w (n˜ao…

Coordenadas em R2 e R3 . 2. Vetores. 3. Distˆncias. a 4. M´dulo de um vetor. o Roteiro 1 Coordenadas em R2 e R3 Em primeiro lugar lembramos o significado geom´trico das equa¸˜es x = k, e co 2 3 3 y = k (em R e R ) e z = k (em R ). x=m Y k (m, k) m y=k X Figura 1: Retas paralelas aos eixos Equa¸˜es das retas e planos paralelos aos planos e os eixos coordenados. co Exemplo 1. Seja P um paralelep´ ıpedo com faces paralelas aos planos coordenados.…

VETORES E R3 “Ultra-Fast” Prof.: Oscar Pimentel Obs.: A maioria das figuras deste texto foram copiadas do livro virtual “álgebra vetorial e geometria analítica”, 9ª edição, do professor Jacir Venturi, e aqui foram usadas puramente com fins didáticos e não-comerciais. Para maiores informações e download gratuito do livro, www.geometriaanalitica.com.br 1 – O ESPAÇO R3 A geometria analítica no R3 tem por finalidade estudar o espaço tridimensional, tomando por base uma…

Linear – extras - 2010 1) Seja { v1, v2, v3 } uma base do R3 e seja v4 =-a1-a2 -a3 . Mostre que todo vetor v R3 pode ser escrito como v= m1v1+m2v2+m3v3+m4v4 onde m1, m2, m3, m4 são únicos tal que m1+m2+m3+m4=0 (obs: pode ser generalizado) 2) Considere no R4 u1=(1,-3,0,2), u2=(-2,1,1,1), u3=(-1,-2,1,3) . Determine se os vetores dados são L.D. Ache uma base e a dimensão do subespaço gerado por eles e a equação (ões) homog(s) do subespaço gerado por eles. 3) Seja { u1, u2, u3,…

VETORES E R3 “Ultra-Fast” Prof.: Fábio Rodrigues fabio.miranda@engenharia.ufjf.br Obs.: A maioria das figuras deste texto foram copiadas do livro virtual “álgebra vetorial e geometria analítica”, 9ª edição, do professor Jacir Venturi, e aqui foram usadas puramente com fins didáticos e não-comerciais. Para maiores informações e download gratuito do livro, www.geometriaanalitica.com.br 1 – O ESPAÇO R3 A geometria analítica no R3 tem por finalidade estudar o espaço…