Exerc Cio Determinante E Produto Vetorial 1

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Algebra
Linear I - Lista 4
Determinantes. Produto vetorial
1) Calcule os determinantes a seguir:
1 2 −3
2 0 1 ,
1 1 3

2 1 0
0 1 2 ,
1 0 2

9 9 9
18 18 19 .
27 27 18

2) Veifique que os determinantes sin α cos α
0
− cos α sin α
0 , sin α − cos α sin α + cos α 1

sin α cos α
1
− cos α sin α
0
sin α − cos α sin α + cos α 1

n˜ao dependem de θ.
3) Sem calcular diretamente, mostre que x = 0 e x = 2 satisfazem a equa¸c˜ao x2 x 2
2 1 1 .
0 0 −5
Sem desenvolver o determinante, determine se existem outras solu¸c˜oes.
4) Sem calcular diretamente, mostre as igualdades a seguir:
a)
b+c c+a b+a a b c 1
1
1

= 0,

b) a1 + b 1 a1 − b1 c 1 a2 + b 2 a2 − b2 c 2 a3 + b 3 a3 − b3 c 3
1

= −2

a1 b 1 c 1 a2 b 2 c 2 . a3 b 3 c 3

5) Considere os vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).
a) Determine e1 × e2 , e2 × e3 , e3 × e1 , e2 × e1 ;
b) Os vetores e1 × (e1 × e2 ) e (e1 × e1 ) × e2 s˜ao iguais?
6) Calcule as ´areas dos paralelogramos gerados pelos seguintes vetores:
a) u = (2, 1, 3), v = (−1, 2, −1);
b) u = (3, −2, 0), v = (−1, 0, 0);
c) c) u = (1, 2, 1), v = (3, 1, −1).
7) Dados vetores u, v e w (n˜ao coplanares) mostre que u × (v × w) = αv + βw.
Suponha agora que u = (a1 , b1 , c1 ), v = (a2 , 0, 0) e w = (a3 , b3 , 0). Prove que α = u · w e β = −u · v.
8) Suponha que u · (v × w) = 3. Calcule
• u · (w × v),
• (v × w) · u,
• w · (u × v),
• v · (u × w),
• v · (w × w).
9) Mostre que para qualquer vetor v ∈ R3 , os vetores i × v, j × v e k × v s˜ao coplanares.
10) Responda as seguintes quest˜oes:
• Simplifique o m´aximo poss´ıvel a express˜ao (u + v) × (u − v).
2

• Considere vetores coplanares u, v, w e k. Calcule (u × v) × (w × k).
11) Estude a veracidade das afirma¸c˜oes a seguir:
a) Existem vetores n˜ao nulos u¯ e w
¯ de R3 tais que u¯ · w¯ = 0 e u¯ × w¯ = ¯0.
b) Existe a ∈ R tal que (1, 2, 2) × (a, 1, a) = (0, 0, 0).
c) Considere dois vetores w¯ e v¯ de R3 tais que w×v = ¯0. Ent˜ao w·v = |w| |v|.
d) Considere vetores v¯ e w
¯ de R3 . Ent˜ao v¯ × (¯ v × w)
¯ =