fisica

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Algebra Linear I - Aula 2
1. Coordenadas em R2 e R3 .
2. Vetores.
3. Distˆncias. a 4. M´dulo de um vetor. o Roteiro
1

Coordenadas em R2 e R3

Em primeiro lugar lembramos o significado geom´trico das equa¸˜es x = k, e co
2
3
3
y = k (em R e R ) e z = k (em R ). x=m Y k (m, k)

m

y=k

X

Figura 1: Retas paralelas aos eixos
Equa¸˜es das retas e planos paralelos aos planos e os eixos coordenados. co Exemplo 1. Seja P um paralelep´ ıpedo com faces paralelas aos planos coordenados. Sabendo que A = (1, 1, 1) e B = (3, 4, 5) s˜o dois v´rtices determine a e os outros 6.
Resposta: (1, 1, 5), (1, 4, 1), (1, 4, 5), (3, 4, 1), (3, 1, 1) e (3, 1, 5).
1

Z m z=m

Z

Z

y=m

Y
X

m

Y

X

Y

m

X

Figura 2: Planos paralelos aos eixos

2

Vetores

Nesta se¸˜o lembraremos brevemente os vetores e suas opera¸˜es b´sicas. ca co a Defini¸˜o de vetor v . Vetor v determinado por dois pontos A e B (extreca
¯
¯ mos inicial e final) vetor AB.
Exemplos: Escreva os vetores determinados pelos pontos A = (1, 1, 1) e
B = (2, 3, 4), e C = (2, 3, 5) e D = (3, 5, 8). Interprete.

2.1

Opera¸˜es com vetores co Considere os vetores u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ), e o n´mero real λ. u • soma (lei do paralelogramo): u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ),
• subtra¸˜o ou diferen¸a (lei do paralelogramo): u − v = (u1 − ca c v1 , u2 − v2 , u3 − v3 ),
• multiplica¸˜o pelo escalar λ ∈ R: λ u = (λ u1 , λ u2 , λ u3 ), ca • vetor nulo: ¯ = (0, 0, 0),
0
• produto escalar (ou produto interno): u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
(o resultado ´ um n´mero real!). e u
Vetores paralelos.
Exemplo 2. Considere o paralelogramo que tem como v´rtices aos pontos e A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ) e C = (c1 , c2 , c3 ). Sabendo que AB e AC
2

u
¯

u
¯

u+v
¯ ¯

v
¯

v
¯
u
¯

v
¯

−¯ u u−v
¯ ¯

v−u
¯ ¯ u ¯

−¯ v v
¯

Figura 3: Lei do paralelogramo

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