Volumes de Hiperesferas

Introdução

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma.
Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.
Quanto à geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) pela equação: em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera.

Projeto
Neste projeto, determinaremos as fórmulas para o volume limitado por uma hiperesfera em um espaço n-dimensional
1- Utilize uma integral dupla e substituições trigonométricas, juntamente com a formula 64 da Tabela de integrais, para determinar a área do circulo de raio r .

2- Use uma integral tripa e substituições trigonométricas para determinar o volume da esfera de raio r.

3- Utilize uma integral quádrupla para determinar o hipervolume delimitado pela hiperesfera em (use somente substituição trigonométrica e formulas de redução para ou .)

4- Use uma integral n-upla para determinar o volume delimitado por uma hiperesfera de raio r no espaço n-dimensional .[Sugestão: as fórmulas para n par e para n ímpar são diferentes.]

IMAGEM:

Respostas:

1- Dentro do circulo, o conjunto de pontos é: .

Assim, substituindo e, em seguida, usando a

formula 64 para calcular a integral temos:

2- A região de integração é:

Substituindo e usando a formula 64 para

integrar nós temos :

3- Aqui vamos substituir e, depois,

. Porque parece ocorrer com

freqüência