FEN03 01248 Apendice D

Apêndice D
Álgebra Linear, Sistemas Dinâmicos e
Equações Diferenciais Ordinárias
D.1

D.1.1

Álgebra Linear e Espaços Vetoriais de Dimensão Finita
Vetores e bases

Definição: Espaços vetoriais são conjuntos com as seguintes propriedades [47, 40]:
1. A soma de elementos do conjunto e a multiplicação dos mesmos por um número escalar
(real ou complexo) é definida;
2. Existe o elemento neutro da soma, Z, tal que X + Z = X;
3. Existe o elemento oposto, Y, de qualquer elemento X, tal que X + Y = Z.
Os elementos de um espaço vetorial denominam-se vetores. A soma de vetores tem as seguintes propriedades:
1. X1 + X2 = X2 + X1

(Comutatividade);

2. X1 + (X2 + X3 ) = (X1 + X2 ) + X3

(Associatividade);

A multiplicação de vetores por escalares tem as seguintes propriedades:
1. 1X = X;
2. α (βX) = (αβ) X;
3. α (X1 + X2 ) = (αX1 + αX2 ), onde α e β ∈ C (C é o conjunto dos números complexos)
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Definição: Os vetores Xi , com i = 1, . . . , n, onde n é um número finito, são linearmente independentes se a equação:
(D.1)

α1 X1 + α2 X2 + . . . + αn Xn = Z só se verificar se α1 = α2 = · · · = αn = 0.

Definição: O número máximo n, de vetores linearmente independentes de um espaço vetorial denomina-se dimensão do espaço vetorial.
Definição: Todo conjunto de n vetores linearmente independentes de um espaço vetorial de dimensão n denomina-se de base do espaço vetorial.
Sejam X1 , X2 , . . . , Xn , um conjunto de vetores linearmente independentes de um espaço vetorial. Se a esse conjunto acresecentarmos um vetor Y = Z a equação: βY + α1 X1 + α2 X2 + . . . + αn Xn = Z tem pelo menos uma solução em que β e ao menos um dos coeficientes αi = 0. Como β = 0 reescrevemos a equação acima na forma: α2 αn α1 Xn
Y = − X1 − X2 − . . . − β β β Definição: Os números ai = −αi /β denominam-se coordenadas do vetor Y na base Xi .

Teorema: As coordenadas de um vetor Y qualquer, em uma base {X1 , X2 , . . . , Xn} são únicas. Admitimos que o vetor Y possa ser obtido através de duas combinações lineres