Integral Texto 2 A Integral Definida

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UNIFACS – Universidade Salvador
Disciplina: Cálculo Integral
Curso: Engenharias
Professora: Ilka R. Freire
A Integral Definida – Área de regiões planas
A Integral Definida
Vamos voltar à questão colocada no texto que introduz o conceito de integral: Calcular a área de uma figura plana.
A definição da área de uma figura plana qualquer é feita aproximando-se a figura por polígonos cujas áreas podem ser obtidas pelos métodos da Geometria Elementar e, como já foi citado, está baseada no chamado método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 AC) e aperfeiçoado por Arquimedes ( 287-212 AC).
Consideremos y = f(x)  0 uma função contínua em [a,b] e R a região do plano limitada por y = f(x); y = 0; x = a e x = b.

O método da exaustão está basicamente descrito a seguir:
Seja a = x0 < x1 < x2<...<xn = b uma partição do intervalo [a,b], ou seja, uma divisão de
[a,b] em n subintervalos.
Consideremos i um ponto qualquer do subintervalo [xi-1, xi ] Seja xi = xi  xi-1 e Ri o retângulo de base xi e altura f(i); i = 1, 2, 3, ..., n.
A área do retângulo Ri é dada por A(Ri) = f(i) xi.
Consideremos agora a soma das áreas de todos os retângulos n A n  f(ε1 )Δx1  f(ε 2 )Δx 2  ...  f(ε n )Δx n   f(ε i )Δx i . A soma das áreas desses pequenos i 1

retângulos nos dá uma aproximação cada vez melhor da área procurada.
A interpretação geométrica dessas somas nos sugere que a medida que n cresce (xi decresce ) os valores de An se aproximam da área da região R que indicamos por A(R), ou seja, n

A(R)  lim  f(ε i )x i n   i 1

Esta definição de área nos leva à seguinte

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Definição: Seja f uma função contínua em [a,b] e consideremos uma partição de [a,b]. Se n lim

maxΔx i 0

 f(ε i )Δx i = lim

n  

i 1

n

 f(ε i )x i existe e é finito, independentemente da escolha

i 1

dos i´s, então este limite é chamado de integral definida de f em [a,b] e indicado por  f(ε i )Δx i = lim  f(ε i )x i   f(x)dx

lim

maxΔx i 0

A integral

b

n

n

n   i 1

i 1