Método de ponto fixo

Engenharia de Alimentos

Cálculo Numérico
Método do Ponto Fixo

Método do Ponto Fixo

Der acordo com o livro, Calculo numérico, Aspectos teóricos e computacionais de Marica A. Gomes Ruggiero e Vera Lucia da Rocha Lopes.

A importância deste método está mais nos conceitos que são introduzidos em seu estudo que em sua eficiência computacional.

Seja f(x) uma função continua em [a,b], intervalo que contem uma raiz da equação f(x) = 0.

O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente x = φ(x) e a partir de uma aproximação inicial x0 gerar a sequência {xk} de aproximações para ξ pela relação xk+1 = φ(xk), pois a fuçao φ(x) é tal que f (ξ) = 0 se e somente se φ (ξ) = ξ. Transformamos assim o problema de encontrar um zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de φx.
Uma função φ(x) que satisfaz a condição acima é chamada de função de iteração para a equação f(x) = 0.

Exemplo 1: Seja a equação x2 + x – 6 = 0.

Funções de iteração possíveis: * g1(x) = 6 - x2 * g2(x) = ±√6 – x Dada uma equação do tipo f(x)= 0, há para tal equação * g3(x) = 6/x – 1 mais de uma função de iteração g(x), tal que: f(x)=0 ↔ * g4(x) = 6/(x + 1)‏ x=g(x).

* Análise gráfica da convergência:

x 

y

x1 g(x)‏ x0

y = x x2

Situação 1: g1(x) = 6 - x2

{x k} → ξ quando K → ∞

* Análise gráfica da convergência:

x 

y

x1 g(x)‏ x0

y = x x2

x3

Situação 2: g2(x) = ± 6-x

{x k} → ξ quando K → ∞

* Análise Gráfica da Convergência

x