Metodo do ponto fixo

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Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Método do Ponto Fixo (MPF) – Método da
Ponto
Iteração Linear (MIL)
Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b] que
contenha uma raiz de f(x). O Método do Ponto Fixo inicia-se
reescrevendo a função f(x) como:
f(x) = g(x) – x
Essa forma de escrever f(x) é bastante útil. No ponto x que
corresponde à raiz de f(x), isto é, f(x) = 0, teremos que:
f(x) =g(x) – x =0
g(x) = x
g(x) é a Função de Iteração para f(x)=0

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Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Por exemplo, a função f(x) = x2 - x – 2 pode ser reescrita
como, f(x) = x2 – 2 – x = g(x) – x , onde g(x) = x2 – 2. Essa
função tem como ponto fixo o valor x=2, pois g(2) = 22 – 2 =
2.
E esse é exatamente o valor da raiz de f(x), pois f(2) = 22 –
2 – 2 = 0.
Ou seja, no ponto x quecorresponde à raiz de f(x), ao
substituirmos o valor de x na função g(x), teremos como
resultado o próprio valor de x.
Portanto, a raiz de f(x) será o ponto fixo de g(x), ou seja,
o valor que ao ser substituído em g(x) retorna o próprio valor
de x.

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Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Método do Ponto Fixo (MPF)
Ponto
Implicação de tal procedimento:

Problema de determinação
de um zero de f(x)f(x)
Função de
iteração

Problema de determinação
de um ponto fixo de g(x)
g(x)
Mais importante a abordagem conceitual do que a
eficiência computacional.
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Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Análise Gráfica - Determinar os pontos fixos de uma
função g(x) é determinar os pontos de intersecção entre as
curvas:
y=g(x)
y=x

y

y=x
y=g(x)

g(ξ) = ξ

ξ

x0

x

44 Exemplo 11: Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) = x2 - ex,
usando o Método da Iteração Linear (Pontos Fixos).
1 - Encontrando o intervalo da raiz:
f(x) = g(x) – h(x)
g(x) = x2 e h(x) = ex
2 - Escolha uma função de
iteração ϕ(x):

Ou seja, podemos ter como
função de iteração:
ϕ(x) =
ϕ(x) =

ex
− ex
45

3 – Usando ϕ(x) =

− e x e x0 = -1, temos:

4 – Substituindo os valoresde xk em f(x) para cada iteração k, observamos
que a cada etapa, nos aproximamos da raiz de f(x), conforme tabela
abaixo:

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Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Exemplo 12:
Seja a equação x2 + x – 6 = 0 .
Funções de iteração possíveis:
g1(x) = 6 - x2
g2(x) = ±√6 - x
±√
g3(x) = 6/x – 1

Dada uma equação do
tipo f(x) = 0, há para
tal equação mais de
uma
função
de
uma
iteraçãog(x), tal que:
f(x) = 0 ⇔ x = g(x)
g(x)

g4(x) = 6/(x + 1)
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Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Não há necessidade de uso de método
numérico para a determinação das raízes
ξ 1 = -3 e ξ 2 = 2
Utilização desta exemplo para demonstrar a
convergência ou divergência numérica e
gráfica do processo iterativo
Seja a raiz ξ2 = 2 e g1 (x) = 6 - x2
(x)
Considere-se x0= 1,5 e g(x) = g1 (x)
1,5 g(x)48

Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Seja a raiz ξ2 = 2 , x0 = 1,5 e
1,5
6 – x²:
x1 = g(x0) = 6 – 1,52 = 3,75
3,75

g1 (x) =

⇔ x1

x2 = g(x1) = 6 – 3,752 = -8,0625
x3 = g(x2) = 6 – (-8,0625)2 = -59,003906
x4 = g(x3) = 6 – (-59,003906)2 = - 3475,4609
Conclui-se que {xk} não convergirá para ξ2 = 2
49

Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Exemplo 12: Análise Gráfica:
y

y=x

x1= g(x0) = 6 – 1,52 = 3,75
x2 = g(x1) = 6 – 3,752 = -8,0625
x3 = g(x2) = -59,00039
x2

ξ1

x0 ξ

x1
x

2

g(x)

{xk} → inf quando k → inf
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Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Exemplo 13: Seja a raiz ξ2 = 2,
g2 (x) = √6 - x e x0 = 1,5
1,5
x1 = g(x0) = √6 - 1,5 = 2,121320343
x2 = g(x1) = √6 - 2,121320343 = 1,969436380
x3 = g(x2) = √6 -1,969436380 = 2,007626364
x4 = g(x3) = √6- 2,007626364 = 1,998092499
x5 = g(x4) = √6 - 1,998092499 = 2,000476818
Conclui-se que {xk} tende a convergir
{x tende
para ξ2 = 2
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Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Exemplo 13: Análise Gráfica
y
y=x

x0
x1
x2
x3
x4

g(x)

ξ2

x0
x2

=
=
=
=
=

1,5
2,121320343
1,969436380
2,007626364
1,998092499
1,998092499

x

x1

{xk} → ξ2 quando k → inf

52...
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