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Ministerio da Educa¸ao c˜

´ UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO ´ PARANA Campus Campo Mour˜o a

2a Lista de Exerc´ ıcios - C´lculo Num´rico a e Exerc´ ıcio 1 Localize graficamente as ra´ das equa¸˜es a seguir: ızes co x a) 4 cos(x) − e2x = 0 b) − tg(x) = 0 2 d) 2x − 3x = 0 e) x3 + 5x2 − 10 = 0

c) 1 − x ln(x) = 0 f) 1 −x−3=0 x

ca e ca Exerc´ ıcio 2 Dada a fun¸˜o f (x) = x2 − 2x + 1,sabemos que ξ = 1 ´ a solu¸˜o de f (x) = 0. ´ E poss´vel encontrar esta raiz pelo m´todo da bissec¸˜o? Justifique. ı e ca Exerc´ ıcio 3 Dada a fun¸˜o g(x) = x − e−x , calcular xk , k = 1, 2, . . . , com 3 d´ ca ıgitos significativos para x0 = 0, 55 e φ(x) = e−x . Exerc´ ıcio 4 O problema resolva f (x) = x + ln(x) pode ser transformado num problema equivalente da forma x = φ(x). Para o processo iterativodefinido por xk+1 = φ(x); analisar a convergˆncia a convergˆncia quando: e e a) φ(x) = − ln(x) b) φ(x) = e−x e Exerc´ ıcio 5 Dada g(x) = x2 + x − 6, verifique graficamente, se aplicarmos o m´todo do ponto fixo usando φ(x) = 6 − x2 e x0 = 1, 5 se a sequˆncia {xk } converge para a raiz ξ = 2. Fa¸a o e c √ mesmo estudo para φ(x) = 6 − x e x0 = 1, 5. Exerc´ ıcio 6 Mostre que x3 − 2x − 17 = 0 tem apenasuma raiz real e determine sue valor correto com 4 digitos significativos usando o m´todo de Newton. (Use 7 casas decimais.) e Exerc´ ıcio 7 Seja f (x) = x2 − 6 com x0 = 3 e x1 = 2, ache x3 . e a) Use o m´todo da secante. b) Use o m´todo da Falsa Posi¸˜o. e ca c) Que m´todo d´ um resultado mais pr´ximo de e a o Exerc´ ıcio 8 Dada f (x) = x3 usando: i √ 6?

√ x−cos(x) verifique se f (x) possui umzero em [0, 1]. Depois calcule

a) O m´todo de Bissec¸˜o. e ca b) O m´todo da secante. e Exerc´ ıcio 9 Encontre um aproxima¸˜o para ca da Bissec¸˜o. ca Exerc´ ıcio 10 Use o m´todo de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equa¸˜es e co a seguir com precis˜o 10−4 a a) x/2 − tg(x) = 0 b) 2 cos(x) − ex /2 = 0 c) x5 − 6 = 0 Exerc´ ıcio 11 Seja p(x) = x3 − 3x2 + 4. a) Verifique se p(x)possui uma raiz de multiplicidade em x = 2 b) Determine-a usando o m´todo de Newton, com ξ = 0, 001. e ca Exerc´ ıcio 12 Determine uma aproxima¸˜o para √ 7 com o erro menor que 10−2 . Use o m´todo e √ 3 25 com precis˜o 10−4 , ultilizando o algoritmo a

da bissec¸˜o e o seguinte o seguinte crit´rio de parada |bk − ak | ≤ ϵ. ca e Exerc´ ıcio 13 Se no m´todo da bissec¸˜o considerarmos o seguintecrit´rio de parada e ca e |bk − ak | ≤ ϵ, qual ser´ o n´mero de itera¸˜es que teremos que efetuar? a u co 2 Exerc´ ıcio 14 Encontre as trˆs primeiras itera¸˜es para a raiz de g(x) = ln(x) − x + 2 no e co intervalo (0,1) usando φ1 (x) = ex−2 e x0 = 0, 5. A convergˆncia do m´todo ´ garantida? Esta e e e fun¸˜o possui uma raiz no intervalo (3,4) ´ possivel encontrar esta raiz usando φ1 (x)? Encontre ca e araiz do intervalo (3,4) com 2 d´gitos significativos e x0 = 3, 2. ı Exerc´ ıcio 15 Um objeto caindo verticalmente atrav´s do ar ´ submetido a atrito, bem como ` e e a for¸ca da gravidade. Assuma que um objeto com massa m seja jogado de uma altura s0 e que c a altura do objeto ap´s t segundos seja o s(t) = s0 − mg m2 g t + 2 (1 − ekt/m ); k k

onde g = 9, 8m/s2 e k representa o coeficiente deresistˆncia do ar em . Suponha que s0 = 300m, e m = 0, 25kg e k = 0, 1. Encontre, com precis˜o de 0,0001s, o tempo que leva esse objeto para a atingir o solo. Sugest˜o: Use o computador. a ii

Exerc´ ıcio 16 O modelo Jenns ´ considerado geralmente como a f´rmula mais precisa para pree o dizer a altura de uma crian¸a em idade pr´ escolar. Se h(x) denota a altura (em cent´ c e ımetros) na idade x (emanos) para e
3,261−0,993x 1 4

≤ x ≤ 6, ent˜o h(x) pode ser aproximada por h(x) = 79, 041+6, 39x− a

. Usando esta f´rmula estime a idade de uma crian¸a com altura de 101,835cm? o c

Sugest˜o: Use o computador. a Exerc´ ıcio 17 A equa¸˜o x3 − 2x − 1 = 0 possui apenas uma raiz positiva. ca a) De acordo com o pr´ ıncipio da bissec¸˜o, esta raiz positiva deve estar em qual dos intervalos:...
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