Matrizes e sistemas lineares

Apostila de Matrizes, Determinantes e Sistemas 1ª Edição 2008

Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

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Capítulo 1 - Matrizes 1.1 Definição As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas. Nome Ricardo José João Pedro Augusto Peso(kg) 70 60 55 50 66 Idade(anos) 23 42 21 18 30 Altura(m) 1,70 1,60 1,65 1,72 1,68

O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.
70 60  55  50 66  23 1,70  70 23   42 1,60  60 42 21 1,65 ou  55 21   18 1,72  50 18  66 30 30 1,68   1,70   1,60  1,65   1,72  1,68  

Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes. Exemplos:
2 3 1  7 6 8 : matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)  

4

1 3 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)

0,4  3  : matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)   5 

1.2 Representação Algébrica Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por:

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 a11 a  21    am1

a12 a22  am 2

 a1n  ... a2 n   com m e n *      amn 

Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (a ij)n x m aij = i – linha j – coluna a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito) (na tabela significa a idade de Pedro 18) Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j. Resolução: A representação genérica da matriz é:
 a11 a12    A   a 21 a 22  a   31 a32  3 x 2

aij  3i  j a11  3 1  1  2 a12  3 1  2  1
2 1   A 