Matrizes e sistemas lineares

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Apostila de Matrizes, Determinantes e Sistemas 1ª Edição 2008

Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

1

Capítulo 1 - Matrizes 1.1 Definição As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a alturade 5 pessoas. Nome Ricardo José João Pedro Augusto Peso(kg) 70 60 55 50 66 Idade(anos) 23 42 21 18 30 Altura(m) 1,70 1,60 1,65 1,72 1,68

O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.
70 60  55  50 66  23 1,70  70 23   42 1,60  60 42 21 1,65 ou  55 21   18 1,72  50 18  66 30 30 1,68   1,70   1,60 1,65   1,72  1,68  

Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes. Exemplos:
2 3 1  7 6 8 : matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)  

4

1 3 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)

0,4  3  :matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)   5 

1.2 Representação Algébrica Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por:

2

 a11 a  21    am1

a12 a22  am 2

 a1n  ... a2 n   com m e n *      amn 

Pode-se abreviadamente representar amatriz acima por A = (a ij)n x m aij = i – linha j – coluna a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito) (na tabela significa a idade de Pedro 18) Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j. Resolução: A representação genérica da matriz é:
 a11 a12    A   a 21 a 22  a   31 a32  3 x 2

aij  3i  j
a11  3 1  1  2 a12  3 1  2  1
2 1   A 5 4   a 22  3  2  2  4 8 7    a31  3  3  1  8

a 21  3  2  1  5

a32  3  3  2  7

1.3 Matriz Quadrada Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita quadrada. Exemplo:  3 4 A  é uma matriz quadrada de ordem 2  1 0 Observações: 1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula. 2ª)Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A outra diagonal é chamada diagonal secundária. Resolva: 1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que aij  i 2  j 2
 2 5 10 Resp.:  5 8 13   10 13 18  

3

 1i  j , se i  j 2) Escreva os elementos da matriz A = (a ij) de ordem 3, definida por aij   0, se i j

 0 1 1  Resp.:  1 0  1    1 1 0    i  j, se i  j 3) Escreva os elementos da matriz A = (a ij)4x2 , definida por aij   i  j, se i  j

2 1 Resp.:  2  3

3 4  1  2

1.4 Matriz unidade ou matriz identidade A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matrizunidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz unidade por In. Exemplo: 1 0 0   1 0 I3   0 1 0 I2   0 1    0 0 1   1.5 Matriz tranposta Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At.
2 1  2 5 8  Exemplo: A  5 4 a sua transposta éAt      1 4 7 8 7   

1.6 Igualdade de Matrizes Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais.

A  aij

 

mxn

B  bij
a13  a 23  2 x 3 

 

mxn

a12 a A   11 a 21 a 22

b b B   11 12 b21 b22

b13  b23  2 x 3 
4

A  B  aij  bij
 2 5  x...
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