Sistemas lineares e matrizes

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Sistemas Lineares
Introdução
Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção dedeterminante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.

Conceito de equações lineares
É uma equação da forma:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

onde:
x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais oucomplexos);
b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos:
a) x + y + z = 20
b) 2x –3y + 5z = 6
c) 4x + 5y – 10z = –3
d) x – 4y – z = 0

Resolução de um sistema linear
1) Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1 
Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe: x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 =1 1 = 1
2) Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8        10 – 6 + 4 = 8        8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0         10 – 6 – 4 = 0       0 = 0Sistema linear homogêneo
Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o termo (0, 0, 0), chamamos de solução nula ou trivial. 
Podemos dizer que um sistema linear homogêneo é SPD ou SPI. 
Será: 
SPD: se admitir somente umasolução trivial. 
SPI: se admitir uma solução trivial e outras soluções. 
Generalizando, podemos representar um sistema linear homogêneo da seguinte forma: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+a1nxn = 0 
a21x1 + a22x2 + a23x3+ ... +a2nxn = 0 
am1x1 + am2x2 + am3x3+...+amnxn= 0 

Escalonamento
Classificado o sistema como SPD ou SPI, pode ser feito o escalonamento, que consiste basicamente em deixaras equações do sistema na forma:

Ou seja, o sistema deve ter diversas equações, cada uma com um número crescente ou decrescente de incógnitas, de modo que a última se reduza a apenas uma incógnita. Isso é feito com as transformações adequadas – sempre é possível "zerar" uma das incógnitas na equação pela soma/subtração da equação anterior que contenha essa incógnita. Exemplificando:Inicialmente, vamos eliminar o termo composto pela variável x nas duas últimas equações, a partir da primeira. Para tanto, inicialmente multiplicamos a segunda equação por -2 e a terceira por 4. Depois, somamos as equações a primeira e obtemos:

A continuar o processo, pode-se trabalhar a segunda e a terceira equação linear para obter na terceira uma equação a uma variável, que arbitrariamenteescolhemos ser z. Para tanto, vamos multiplicar a segunda equação por -3, e então somá-la à terceira equação:

A partir desta última equação, e em geral em qualquer sistema resolvido por escalonamento, é possível encontrar o valor de uma primeira variável, no caso específico:

Substituindo o valor encontrado para z na equação da segunda linha, temos:

Por fim, é possível substituir esses dois valoresna primeira equação:

A solução do sistema é, portanto, (-4,1,1).

Teorema de Cramer
O Teorema de Cramer foi elaborado por Gabriel Cramer, e serve para acharmos a solução de qualquer sistema linear, com n equações e n incógnitas.
Exemplo de uma equação linear simples, com duas equações e duas incógnitas:
x+2y = 8
3x – y = 3

* Fórmula
Para resolver um sistema linear com o teorema...
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