Matrizes e determinantes

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Matrizes e determinantes
1) Dadas as matrizes : A 5 2 1 1 5 10 2 4 , B 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 2 1 e X a b c d tais que 2 A X B, calcule o determinante de X .

Primeiramente encontramo a matriz X : s 2 a b c d a b c d 4 b 2 1 2 1 10 a 4 b 2 2 d a 8 b 6 c 1 2 8 6 1 1 2 2 10 a

2 c 2 d 8 6 2 1

2 c 0 2 d 1 8 12 20

X

2 1

det X

8.1 6.( 2)

2 2) Encontrea solução da equação 4 n

1 31 n 1 0 n

12.

Para achar o determinante de uma matriz 3x3 podemos utilizar a regra de Sarrus,que consisteem copiar as duas primeiras colunas à direita da matriz, e subtrair a soma dos produtos da primeira diagonal, pela soma dos produtos da segunda : 2 4 n 1 3 2 1 12 n2 n 4 2 ( 2n n(n 1) 0) ( 3n 0 4n) 12 4n 12 64 0 n 4 8 2 n n 6 2 1 n 1 4 1 0 n n 0 n) n 12

( 2n n 2 n 4

16-4.1.(-12 ) 2 3) Sendo A

1 0 2 3 e B 0 4

5 1

3 2

calcule AB.

Essa é uma questão de multiplica ção de matrizes, onde estamos multiplica ndo uma matriz 3x2 por uma 2x2. O resultado será obtido pelo produto de cada linha da matriz A por cada coluna da matriz B. O resultado será uma matriz 3x2. 1.5 0.1 AB 1.( 3) 0.2 AB 5 3 ( 2).5 3.1 ( 2)( 3) 3.2 0.5 4.1 0( 3) 4.2 7 12 4 8

4) Sendo A

4 5 34

, determine a matriz inversa da matriz A.

Sabemos que uma matriz multiplica da pela sua inversa resulta na matriz identidade, ou seja : A. A
1

I 4a 5c 1 4a 5c 1 3a 4c 4b 5d 3b 4d 5 4 0 0 1 a c b d 4 3 5 4 1 0 0 1 4b 5d 3a 4c 3b 4d 0 0 1 4 3

4 5 a b . 3 4 c d

Portanto,a matriz inversa de A é A

1

Determinantes
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número delinhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices; Determinante de 1ª ordemDada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11: det M =Ia11I = a11 Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo. Por exemplo: M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem

Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinanteassociado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Regra de Sarrus O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe comoaplicamos essa regra para

.

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundáriacom os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Sistemas Lineares
Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b em quea1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea). Veja alguns exemplos de equações lineares: 3x - 2y + 4z = 7 -2x + 4z = 3t - y + 4

(homogênea) As equações a seguir não são lineares: xy - 3z + t = 8 x - 4y = 3t - 4
2...
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