Matrizes e determinantes

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MATRIZES

DEFINIÇÃO DE MATRIZES

Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro mxn elementos (números, polímeros,
funções etc) dispostos em m linhas e n colunas.

a11 a12.... an
A= A21 a22.... a2n
Am1 am2.... amn

Representação dos elementos da Matriz

Cada elemento da matriz A está afetado de dois índices a aij o primeiro índice indica a linha e o segundoa coluna a que elemento pertence.

Representação de uma Matriz

A matriz A pode ser representada abreviadamente por A=[aij] variando de 1 a m (i=1,2,3,4,...m) e j variada de 1 na (j= 1,2,4,4,...m).
A matriz A pode ser representada por [aij], deve o leitos supor, inicialmente, que se fixe por i, por exemplo, o valor 1, e a seguir se faz; varia sucessivamente de 1 a n, obtendo-se:
a11 a12 a13...a1n.
Após, fixa-se para i o valor 2, e faz-se j variar de 1 na obtendo-se:
a21, a12, a13,...a1n
e assim sucessivamente até i atingir o valor m; quando isso ocorre, faz-se j variar de 1 a n, obtendo-se:
am1, am2, am3,...amn
Dessa forma, [aij], com i variando de 1 a m e j varando de 1 a n, representa abreviadamente qualquer matriz A de ordem m por n.

Ordem da Matriz – Notação

Se amatriz A é de ordem m por n, costuma-se escrever simplesmente A(m,n).Assim se a matriz A tiver 3 linhas e 4 colunas, escreve-se A(3,4) e diz-se matriz de ordem 3 por 4.

Matriz Quadrada

Quando o número de linhas é igual ao número de colunas, tem-se uma matriz quadrada

1 2 3 4
A= 5 6 7 8
9 10 11 12
13 1415 16

A ordem da matriz quadrada é n por n, ou simplesmente n

Diagonal principal

Numa matriz quadrada A+ [aij], de ordem n, os elementos aij, em que aij, constituem a diagonal principal.

Assim a diagonal formada pelos elementos
1; 6; 11; 16
é a diagonal principal.

Diagonal secundaria
Numa matriz quadrada A= [aij], de ordem n, os elementos aij, em que i+j = n+1, constituem adiagonal secundária.
Assim a diagonal formada pelos elementos
4, 7 ,10 ,13
é a diagonal secundária

Matriz Unidade
A matriz escalar de qualquer ordem que tem os elementos aij = 1 para i = j é uma matriz unidade. Indica–se a matriz por In, ou simplesmente por I
Exemplo:

1 0 0
I= 0 1 0
0 0 1

Matriz Retangular
Uma matriz na qual m diferente de n édenominada matriz retangular.
Exemplo:
A(2,3) 6 4 3
2 1 5

Matriz-coluna
A matriz de ordem n por 1 é uma matriz-coluna.
Exemplo
5
A(4,1 ) = 3
2
4

Matriz-linha
A matriz de ordem 1 por 5 é uma matriz–linha.
A (1,5) = [ 8 3 4 6 7 ]

Matriz escalar
A matriz diagonal que tem os elementosaij iguais entre si para i=j é uma matriz escalar
7 0 0
A= 0 7 0
0 0 7

Matriz zero
Uma matriz zero é uma matriz cujos elementos aij são todos nulos.
Exemplo

0 0 0
O= 0 0 0
0 0 0

DETERMINANTES

Determinantes de uma matriz
Chama-se de determinante de uma matriz a soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todasas permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices.
Calculo determinante da 2° ordem
A= 6 9
5 7

Det A= 6 9
5 7 = 6.7 - 9.5= Det A = - 3

Calculo de determinante de 3° ordem

2 4 6
A= 3 1 5
8 7 2

2 4 6
Det A = 3 1 5
8 72

Det A= 2 1 5 - 4 3 5 + 6 3 1
7 2 8 2 8 7

det A= 2( 1.2 -5.7)-4( 3.2 -5.8) + 6 ( 3.7 -8.1)
det A= 2 (2 -35) 4 ( 6-40) + 6 ( 21-8)
det A = 2 (-33) -4 (-34) +6 ( 3)
det A= - 66 - 136 + 78
detA = 148

Propriedades dos determinantes

I) O determinante de uma matriz A não se altera quando se trocam...
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