Logaritmos

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INTRODUÇÃO
A palavra logaritmo foi inventada por John Napier. A sua origem é grega e significa a razão dos números – “logos” significa razão e “aritmo”, número. O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630) Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos no livro “Descrição das MaravilhosasRegras dos Logaritmos” no qual expõe o uso dos logaritmos.
A invenção dos logaritmos no século XVI é comparável ao aparecimento dos computadores no século XX - foi um grande salto na realização das operações aritméticas e representou para a astronomia e para a navegação algo muito próximo do que hoje o computador representa para essas mesmas áreas.
Transformando os produtos em somas e os quocientesem diferenças, o uso dos logaritmos conseguiu diminuir em muito o tempo que os astrônomos gastavam nos seus cálculos.
A ideia é bastante simples. Se for possível escrever dois números positivos quaisquer na forma de potências com a mesma base, então multiplicar esses números equivale a somar os expoentes respectivos.

DEFINIÇÃO
Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N(positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
Notas:
1) Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólicaescrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.
2) Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa. Que são logaritmos decimais tabelados, que e possível consultado uma tábua de logaritmo (que foidesenvolvida por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. 3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9), log20 , etc.
3) Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o númeroirracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:
i. O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ouseja: logb1 = 0 porque b0 = 1.
ii. O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b. ) logbbk = k , porque bk = bk .
iii. Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
iv. Se blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base bé igual a M.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
P1 - Logaritmo De Um Produto
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
logb(M.N) = logbM + logbN
P2 - Logaritmo De Um Quociente
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:logb(M/N) = logbM - logbN
Nota: Chamamos decologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja: cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN. (menos log de N na base b).


P3 - Logaritmo De Uma Potência
Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo. Temos a seguinte...
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