logaritmos

Unidade 3 – Função
Logarítmica
Definição de logaritmos de um número
Propriedades operatórias
Mudança de base
Logaritmos decimais
Função Logarítmica

Definição de Logaritmo de um número Suponha que certo medicamento, quando entra na corrente sanguínea de uma pessoa, tem a seguinte propriedade: A cada hora, metade da quantidade presente no organismo é naturalmente eliminada.
Injetando-se 12mg desse medicamento em uma pessoa, a quantidade residual no organismo após t horas da aplicação é dada por:

t

1 f (t ) = 12.  , t ≥ 0
2

Em quanto tempo restarão apenas 4mg de medicamento no organismo dessa pessoa? O tempo pode ser encontrado substituindo-se F(t) =
4 na função exponencial; 1 f (t ) = 12. 
2
1
4 = 12. 
2
4 1
= 
12  2 
1 1
= 
3 2

t

t

t

t

As potências dessa equação exponencial não estão na mesma base. Observe 1  1 t
= 
3 2

Ao resolver essa equação utilizando os procedimentos estudados anteriormente, vamos observar uma dificuldade em reduzir as potências a uma mesma base.
Poderíamos tentar solucionar esse problema por meio de aproximações.
1 1 1
Assim, sabemos que < < .
4 3 2 t 1 1
Como =   , temos;
3 2 t 2

t

1

1 1 1 1 1 1
<   < ou   <   <  
4 2 2 2 2 2

Nesse caso, podemos garantir que 1 < t < 2.
Mas não sabemos ao certo qual é o valor de t.
A solução do problema envolve o que chamamos de logaritmos.
Mais especificamente, o valor de t na equação é o valor do logaritmo de 1/3 na base 1/2: t 1
1 1
  = ⇔ log 1 = t ⇒ forma logarítmica
2 3
2 3
⇓
forma exponencial

Embora apresentem representações diferentes, essas duas últimas expressões têm o mesmo significado. Os logaritmos podem ser utilizados para resolver uma equação exponencial cujas as potências não podem ser colocadas na mesma base. Conceito: Sendo x > 0 e b ≠ 1, o logaritmo de número x em uma base b é o número y que devemos elevar à base b para obtermos x.
Assim, by = x é equivalente a y = logbx

Na equação y = logbx ,