Limites

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Aula 4 Limites. Uma introdu»~o intuitiva ca
Nos cap¶ ³tulos anteriores, ¯zemos uso de um limite especial para calcular derivadas: 0 f (x) = lim f (x+¢x)¡f (x) . ¢x
¢x!0

Neste cap¶ ³tulo veremos os limites como ferramentas de estudo do comportamento de fun»~es reais, provendo informa»~es importantes sobre seus gr¶¯cos. co co a A de¯ni»~o formal de limite ¶ matematicamente so¯sticada,requerendo muitas ca e horas de estudo para ser entendida. O leitor interessado poder¶ encontr¶-la em bons a a livros-textos de c¶lculo. Ocorre por¶m que a de¯ni»~o de limite tem pouca ou nenhua e ca ca ma serventia quando queremos calcular limites. Faremos uma explora»~o intuitiva do conceito de limite e de suas propriedades, atrav¶s de exemplos e interpreta»~es gr¶¯cas. e co a Exemplo 4.1 Considere afun»~o f(x) = 2x + 3. Quando x assume uma in¯nidade de ca valores aproximando-se mais e mais de 0, o n¶mero 2x + 3 assume uma in¯nidade de u valores aproximando-se de 2 ¢ 0 + 3 = 3. Dizemos que o limite de f (x), quando x tende a 0, ¶ igual a 3, e escrevemos e lim f (x) = 3
x!0

Suponhamos que f(x) ¶ uma fun»~o real de¯nida em uma reuni~o de intervalos, e e ca a e a que x0 ¶ um ponto no interiorou no extremo de um desses intervalos. Os matem¶ticos dizem que lim f (x) = L (L 2 R) quando podemos fazer f (x) arbitrariamente pr¶ximo o de L, tomando x su¯cientemente pr¶ximo de x0 , mantendo x 6x0 . No exemplo acima, o = podemos fazer f (x) pr¶ximo de 3 o quanto quisermos, bastando tomar x bem pr¶ximo o o de 0. Exemplo 4.2 Aqui temos uma lista de exemplos intuitivos.
x!x0

28

Limites.Uma introducao intuitiva »~ 1. lim x = a
x!a x!a

29

(a 2 R) (n 2 N, a 2 R)

2. lim xn = an

3. Sendo p(x) = an xn + an¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0 , (an ; : : : ; a0 todos reais),
x!x0

lim p(x) = an xn + an¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 x0 + a0 = p(x0 ) 0 0

lim (x3 ¡ 3) 8¡3 x3 ¡ 3 x!2 = = =1 4. lim 2 2 + 1) x!2 x + 1 lim (x 4+1
x!2

De¯ni»~o 4.1 Nos exemplos acima, de limites com xtendendo a x0 , tivemos sempre ca x0 no dom¶ ³nio de f e lim f(x) = f (x0 ). Quando isto ocorre, dizemos que f ¶ e cont¶ ³nua no ponto x0 . de f .
x!x0

No pr¶ximo exemplo, temos um limite em que x ! x0 , mas x0 n~o est¶ no dom¶ o a a ³nio x3 ¡ 8 . x!2 x ¡ 2
3

Exemplo 4.3 Calcular lim

2 D(f). Quando x se aproxima Solu»~o. Note que, sendo f (x) = x ¡8 , temos que 2 6 ca x¡2 3 de 2, x seaproxima de 8. Um c¶lculo direto nos d¶ ent~o a a a x3 ¡ 8 0 = x!2 x ¡ 2 0 lim Este resultado, 0=0, ¶ muito comum no c¶lculo de limites, e n~o tem signi¯cado como e a a valor de um limite. A express~o 0=0 ¶ um s¶ a e ³mbolo de indetermina»~o ocorrendo em uma ca tentativa de c¶lculo de um limite. A ocorr^ncia desta express~o signi¯ca que o limite a e a ainda n~o foi calculado. a Para evitar o s¶ ³mbolo deindetermina»~o 0=0, neste exemplo fazemos ca x3 ¡ 8 (x ¡ 2)(x2 + 2x + 4) = lim x!2 x ¡ 2 x!2 x¡2 = lim (x2 + 2x + 4) (pois x ¡ 2 60) = lim = 2 + 2 ¢ 2 + 4 = 12 Exemplo 4.4 (C¶lculo de um limite com mudan»a de vari¶vel) a c a p 3 x+1¡1 lim =? x!0 x
x!2 2

Limites. Uma introducao intuitiva »~ Um c¶lculo direto nos d¶ 0=0, uma indetermina»~o. a a ca p Fazendo y = 3 x + 1, temos y 3 = x + 1, eportanto x = y 3 ¡ 1.

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Quando x tende a 0, y tende a 1 (em s¶ ³mbolos: se x ! 0, ent~o y ! 1). E a¶ a ³ temos p 3 x+1¡1 y¡1 lim = lim 3 x!0 y!1 y ¡ 1 x y¡1 = lim y!1 (y ¡ 1)(y 2 + y + 1) 1 1 = lim 2 = y!1 y + y + 1 3

4.1

Limites in¯nitos. Limites no in¯nito

1 . Temos que o dom¶ de f ¶ o conjunto dos ³nio e x2 n¶meros reais diferentes de 0: D(f) = R ¡ f0g. u Consideremos agora afun»~o f (x) = ca Observe a tabela 4.1. Ali ¯zemos uso do fato de que f ¶ uma fun»~o par : f (¡x) = e ca f (x) para todo x 2 D(f ). Na primeira coluna da tabela 4.1, temos valores de x cada vez mais pr¶ximos de o 0. Na ultima coluna, vemos que os valores correspondentes de f (x) tornam-se cada ¶ vez maiores. Neste exemplo, podemos fazer f (x) ultrapassar qualquer n¶mero positivo, u o tomando x...
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