Limites

Aula 4 Limites. Uma introdu»~o intuitiva ca
Nos cap¶ ³tulos anteriores, ¯zemos uso de um limite especial para calcular derivadas: 0 f (x) = lim f (x+¢x)¡f (x) . ¢x
¢x!0

Neste cap¶ ³tulo veremos os limites como ferramentas de estudo do comportamento de fun»~es reais, provendo informa»~es importantes sobre seus gr¶¯cos. co co a A de¯ni»~o formal de limite ¶ matematicamente so¯sticada, requerendo muitas ca e horas de estudo para ser entendida. O leitor interessado poder¶ encontr¶-la em bons a a livros-textos de c¶lculo. Ocorre por¶m que a de¯ni»~o de limite tem pouca ou nenhua e ca ca ma serventia quando queremos calcular limites. Faremos uma explora»~o intuitiva do conceito de limite e de suas propriedades, atrav¶s de exemplos e interpreta»~es gr¶¯cas. e co a Exemplo 4.1 Considere a fun»~o f(x) = 2x + 3. Quando x assume uma in¯nidade de ca valores aproximando-se mais e mais de 0, o n¶mero 2x + 3 assume uma in¯nidade de u valores aproximando-se de 2 ¢ 0 + 3 = 3. Dizemos que o limite de f (x), quando x tende a 0, ¶ igual a 3, e escrevemos e lim f (x) = 3 x!0 Suponhamos que f(x) ¶ uma fun»~o real de¯nida em uma reuni~o de intervalos, e e ca a e a que x0 ¶ um ponto no interior ou no extremo de um desses intervalos. Os matem¶ticos dizem que lim f (x) = L (L 2 R) quando podemos fazer f (x) arbitrariamente pr¶ximo o de L, tomando x su¯cientemente pr¶ximo de x0 , mantendo x 6x0 . No exemplo acima, o = podemos fazer f (x) pr¶ximo de 3 o quanto quisermos, bastando tomar x bem pr¶ximo o o de 0. Exemplo 4.2 Aqui temos uma lista de exemplos intuitivos. x!x0 28

Limites. Uma introducao intuitiva »~ 1. lim x = a x!a x!a

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(a 2 R) (n 2 N, a 2 R)

2. lim xn = an

3. Sendo p(x) = an xn + an¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0 , (an ; : : : ; a0 todos reais), x!x0 lim p(x) = an xn + an¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 x0 + a0 = p(x0 ) 0 0

lim (x3 ¡ 3) 8¡3 x3 ¡ 3 x!2 = = =1 4. lim 2 2 + 1) x!2 x + 1 lim (x 4+1 x!2 De¯ni»~o 4.1 Nos exemplos acima, de limites com x