integral

1) A região limitada pela parábola cubica Y= , pelo eixo 0Y e pela reta
Y=8, com o eixo x. Determinar o volume do solido de revolução obtido.
V=

V=

V=

V=

) +c

V=

) +c

V=

) +c

V=

+c

V=

+c

V(8)= √8 +c
V(8)=

+c

V(0)= √0 +c
V(0)=0 +c
V=V(8)-V(0)
+c)-(0+c)

V=(
V=

+c-c

V=
2) Determinar o volume de um sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=4, da região limitada por y= , y=4 e x=4.

V=

%
.

1 "#4

V=

%
.

1 " # 8 ' ( 16 dx

V=

%
.

" * # 8 ' ( 16 dx

dx

' + ,-

V= (

# 8 ( 16") + c

*

'

' +-

V= ( * # 8ln " ( 16") + c
V= (- # 8ln " ( 16") + c
'
V(4) = (- # 8 ln 4 ( 16 ∗ 4 ) + c
%

V(4) = (- # 8 ln 4 ( 16 ∗ 4 ) + c
%

% 12

V(4) = (

*

+c

%

V(4) =165,43 + c
V(0.25) = (-

# 8 ln 0.25 ( 16 ∗ 0.25) + c

.

V(0.25) =11.09 + c
V(0.25) =34.84 + c
V=V(4)-V(0.25)
V=165,43 + c - (34.84 + c)
V=165,43 + c - 34.84 - c
V=130.59
3)A região R, limitada pela parábola x= 65 (
5

e pelas retas x= -1, y= -2 e

y= 2 gira em torno da reta x= -1.Determinar o volume do sólido de revolução obtido. *

V=

% %

V=

%

%

V= (

( 1 # #1 dy

(2

dy

(4∗
7

%

(2
%

%

7,-

V=

V=

*

V=

*

V=

*

V=

12

*

V=

(2

( 4) dy

(2

(2

( 4) dy

( 4) dy

,-

(4 )+c

(4 )+c

(

(4 )+c

(

(4 )+c

V (2) = ( 2 ( 2 ( 4 ∗ 2) + c
V (2) = (

%

) + c
#2

V (-2) = (
%

V (-2) = (-

(

#2

( 4 ∗ #2 ) + c

+c

V=V(2)-V(-2)
%

V=
V=

+ c-(-

%

%

V=

+ c+

%

889

+c

-c

4)Encontrar o volume do sólido pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada por 65 =16x e y=4x .
V=

4√"

V=

16" # 16" dx
' -,-

V=

'

'

#

#

'

8" #

'

V=
V=

%' *

V=
V (1) =
V (1) =
V (0) =

%

%

V=V (1)-V (0)
V=

+c-c