Integrais

A antiderivada
Uma função F(x) é chamada uma primitiva (antiderivada) da função f(x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f(x)), se, para todo x ∈ I, temos F’(x) = f(x).
De acordo com nossa definição, as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo I.
Exemplos:
1º)

2º)

Regras de integração

Para a seguinte regra, existem 2 maneiras:

Ou

Exemplos:

1º)

2º)

Integral definida
Seja f uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. a integral definida de f de a até b, denotada por:

Na notação:

Os números a e b são chamados limites de integração (a = limite inferior e b = limite superior).

Exemplo:

Integral por partes
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. temos:

Integrando ambos os lados da equação acima, ficamos com:

Quando vamos resolver a integral, poderemos realizar a seguinte comparação:

Assim ficamos com:
(1)

Exemplo:

1º)

Organizamos para ver quem vai ser u, v du e dv:

Aplicando a fórmula (1), ficamos com:

Calculando a última integral, o resultado final será:

Aplicações
Uma das aplicações das integrais é o cálculo de áreas.
Definição: Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área sob a curva y = f(x), de a até b, é definhada por:

Exemplo:
Resolver a integral definida da função abaixo no intervalo [-1, 2].