Exercicios mn

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UNIVERSIDADE DO MINHO

MÉTODOS NUMÉRICOS

ENGENHARIA e GESTÃO INDUSTRIAL

EXERCÍCIOS PRÁTICOS

Ano lectivo de 2005/2006

Métodos Numéricos - L.E.G.I.
Exercícios práticos - CONUM Solução de uma equação não linear
Folha 1

1. Calcule um zero da função f (x) = ex − x2 − 2x − 2 com o método da secante. Considere ε1 = ε2 = 0.0001 usando (a) x1 = −1, x2 = 0.25 e nm´x = 10. a Comente: (b)x1 = −1, x2 = 0.25 e nm´x = 30. a Comente: (c) x1 = 2, x2 = 3 e nm´x = 10. a No de iterações= ; solução: x = ; f (x) =

(d) x1 = 2, x2 = 3 e nm´x = 10 e alterando os valores de ε1 e ε2 para 0.0000001. a No de iterações= ; solução: x = ; f (x) = 2. Resolva a equação f (x) = 0, com f (x) dada na pergunta 1, mas agora com o método de Newton e usando no critério de paragem ε1 = ε2 = 0.0000001, paraas seguintes condições: (a) x1 = 0.25 e nm´x = 30. a No de iterações= ; solução: x = (b) x1 = −1 e nm´x = 30. a Comente: (c) x1 = 2.5 e nm´x = 10. a No de iterações= ; solução: x = ; f (x) =

; f (x) =

3. Resolva a seguinte equação não linear recorrendo ao método de Newton: cos (x) − cos (3.1x) = 0. Considere as seguintes condições: (a) x1 = −1, ε1 = ε2 = 0.0001 e nm´x = 5. a Comente: (b) x1= 1, ε1 = ε2 = 0.0001 e nm´x = 5. a Comente: (c) x1 = 1, ε1 = ε2 = 0.0001 e nm´x = 30. a No de iterações= ; solução: x = 2 ; f (x) =

(d) x1 = 0, ε1 = ε2 = 0.0001 nm´x = 10. a Comente: 4. Determine uma solução da seguinte equação não linear: x4 + 8x3 − 8x2 − 200x − 425 = 0 (a) pelo método de Newton, com o seguinte valor inicial x1 = 1010 . No de iterações= ; solução: x = ; f (x) = (b) pelométodo da secante, com o seguinte valor inicial x0 = 910 , x1 = 1010 . No de iterações= ; solução: x = ; f (x) =

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Métodos Numéricos - L.E.G.I.
Exercícios práticos - MATLAB Solução de uma equação não linear
Folha 1

1. Utilize os comandos plot e fplot do MATLAB, para resolver a seguinte questão:

(a) Localize o zero da função f (x) = ex − x2 − 2x − 2 no intervalo [0, 4].

(b) Descubraas diferenças entre os dois comandos utilizados: _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ 2. Com o comando fzero, calcule o zero da função f (x) = ex − x2 − 2x − 2 usando os seguintes valores iniciais: (a) x1 =0.25 solução: x =

; f (x) = 4

(b) x1 = 2.5 solução: x = 3. Encontre os zeros do seguinte polinómio

; f (x) =

.

x4 + 8x3 − 8x2 − 200x − 425 = 0 (a) solução: x1 = x3 = ; x2 = ; .x4 = . ;

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Métodos Numéricos - L.E.G.I.
Exercícios práticos - CONUM Sistemas de equações lineares
Folha 2

1. Resolva os seguintes sistemas através de um método directo e estável. (a)  = −15  4x1+ 13x2 + 2x3 −8x1 + 10x2 + 8x3 = 6  2x1 + 6.5x2 + 5.5x3 = −3 ; x2 =

Solução: x1 = (b)

; x3 =

Solução: x1 = (c)

 = 10  −30x1 + 9x2 + 9x3 10x1 − 2.999999x2 − 2.999999x3 = 20  6x1 − 6x2 − 20x3 = 10 ; x2 = ; x3 =

Solução: x1 =

 = 10  −30x1 + 9x2 + 9x3 10x1 − 2.999999x2 − 2.999999x3 = −3.333333  6x1 − 6x2 − 20x3 = 10 ; x2 = ; x3 =

2. Calcule o determinante e a inversa dasseguintes matrizes:   −602.9 −0.4762 301.0 (a) A =  −248.8 −0.1048 124.2 Solução: −200.6 0.00001367 101.7   _____ _____ _____ A−1 =  _____ _____ _____  , det (A) = _____ _____ _____ _____ 10  1 (b) B =   4 0  B −1  1 10 5 −1 4 5 10 7  0 −1  Solução: 7  9

_____  _____ =  _____ _____

_____ _____ _____ _____

_____ _____ _____ _____

 _____ _____   , det (B) = __________  _____

6

3. Resolva o sistema seguinte pelo método iterativo de x1 = (0, 0, 0, 0)T e nmax = 30.  6x1 + x2 + 2x3 + x5      2x1 + 8x2 + x3 + 2x4 + 2x5 x1 − 2x2 + 8x3 + x4   −x3 + 9x4 + 2x5    x1 + x2 + −x4 + 7x5 (a) Solução: x1 = x4 = ; x2 = ; x5 = .

Gauss-Seidel, com = 10 = 15 = 8 10 8 ; x3 =

= 10−6 ,

;

4. Resolva os seguintes sistemas pelo método iterativo de...
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