Elementos finitos

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O Método dos Elementos Finitos
Aplicado a Análise de Estruturas Fundamentos
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 1

Fundamentos do Método dos Elementos Finitos

Fundamentos do MEF
Esta parte do Curso terá como bibliografia básica:
– Zienkiewicz, O.C, El Método de los Elementos Finitos. Ed. Reverté. 1980. – Assan, A.E., Método dos Elementos Finitos – Primeiros Passos. Ed. Unicamp. 2003. –Brebbia, C.A. e Ferrante, A.J., The Finite Element Technique. Ed. UFRS. 1975. – Smith, I.M. e Griffiths, D.V., Programming the Finite element Method. John Wiley & Sons. 1998. – Burnett, David S., Finite Element Analysis: from Concepts to Applications. Addison-Wesley Pub. 1987.
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– Soriano, H.L.Método de Elemetos Finitos em Análise de Estruturas. EdUSP, 2002. – Alves Filho, Avelino, Elementos Finitos – A Base da Tecnologia CAE – Análise Dinâmica. Ed. Érica. 2005. – Cook, Robert D., Malkus, David S. e Plesha, Michael E., Concepts and Applications of Finite Element Analysis. John Wiley & Sons. 1989. – Bathe, Klaus Jürgen., Finite Element Procedures in Engineering Analysis. PrenticeHall. 1992.Prof. Henrique Mariano C. Amaral 3

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Fundamentos do MEF
O Método dos Elementos Finitos – MEF - como já citado é um método de análise de modelos matemáticos de problemas físicos em meios contínuos. Essa modelagem é normalmente feita através de equações diferenciais ou equações integrais com suas respectivas condições de contorno.
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Assim, Método dos elementos Finitos consiste na divisão do domínio de integração em um número finito de pequenas regiões denominadas de ‘elementos finitos’, transformando o contínuo em discreto, como mostram os exemplos a seguir:
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A essa divisão do domínio se dá o nome de “malha” (grid em inglês). A malha ou grid, é composto de elementos compostos de arestas (faces) e nós (pontos de interseção das arestas):

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Agora, ao invés de se buscar uma função admissível que satisfaça as condições de contorno para todo o domínio, essas funções agora devem ser definidas em cada elemento. Assim, para cada elemento é montado um funcional Πi, cuja soma, sobre todo a malha produz o funcional do domínio n completo: Π = ∑ Πi
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i=1

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Em cada elemento a função de aproximação é formada por variáveis αj referido aos nós (denominadas de parâmetros nodais) e por funções denominadas de funções de forma φj. Dessa maneira, a função aproximadora u tem a seguinte forma:

u = ∑ α jφ j
j =1
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m

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Assim, o funcional do todo fica:
Π (α j ) = ∑ Π i (α j )
i =1 n

A condição de estacionariedade gera, como no método de Rayleigh-Ritz, um sistema de equações algébricas lineares:
δΠ (α j ) = ∑ δΠi (α j ) = ∑∑
i =1 i =1 j =1
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n

n

m

∂Πi (α j ) ∂αi

=0
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Osistema de equações anterior, reproduzido abaixo:
δΠ (α j ) = ∑ δΠi (α j ) = ∑∑
i =1 i =1 j =1 n n m

∂Πi (α j ) ∂αi

=0

fornece os valores dos parâmetros nodais αj que podem ser deslocamentos, forças internas, ou ambos, dependendo da formulação do método dos elementos finitos utilizado.
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