Elementos finitos

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osCapítulo III
3.2. Método das Diferenças Finitas
Este item 3.2 foi extraído da referência [55] Carnahan 1969, sofrendo modificações.
Em todo o desenvolvimento da análise numérica, utiliza-se as diferenças finitas, com um
roteiro a ser seguido numa seqüência lógica. Partindo da definição de operadores
numéricos de diferenças finitas (∆, ∇, µδ e δ), introduz-se o conceito de interpolaçãoatravés das fórmulas de Gregory-Newton e Stirling, que utilizam estes operadores. Em
seguida, introduz-se a derivação numérica e a integração numérica (Quadratura) por meio
da derivação e integração da fórmula de Gregory-Newton, chegando às fórmulas de
Newton-Cotes.
Seguindo essa técnica, praticamente todos os tópicos da análise numérica podem
ser introduzidos por meio das diferenças finitas, edepois, eles são desenvolvidos para
além das diferenças finitas. No estudo de análise numérica de equações diferenciais não
é diferente. Sugere-se uma introdução por meio dos métodos das diferenças finitas (do
inglês: Finite Difference Methods ou FDM), e posteriormente, o desenvolvimento do
assunto para além das diferenças finitas, como por exemplo, a introdução do Método dos
ElementosFinitos. Com isso, segue-se um desenvolvimento didático muito próximo do
desenvolvimento histórico, uma vez que, conforme foi citado no item 1.2 da Introdução, o
método das diferenças finitas surgiu antes do Método dos Elementos Finitos.
O método das diferenças finitas pode ser utilizado para resolver problemas de valor
de contorno ou valor inicial, envolvendo equações diferenciais ordinárias ouparciais.
Assim, este método pode ser usado para solucionar as equações de modelos a
parâmetros concentrados ou distribuídos. A técnica consiste em substituir cada derivada
ou diferencial das equações diferenciais por aproximação de diferenças finitas ou
acréscimo finitos das variáveis, como mostra as equação 3.1 abaixo:
dx ≈ ∆x, dy ≈ ∆y
ì
ï
ï
dy ∆y d 2 y ∆2 y d 3 y ∆3 y
ï

,


,
ïdx ∆x
dx 2 ∆x 2
dx 3 ∆x 3
í
ï
ï
2
2
3
3
2
2
ï ∂u ≈ ∆u , ∂ u ≈ ∆ u , ∂ u ≈ ∆ u , ∂ u ≈ ∆ u
ï ∂x ∆x ∂x 2 ∆x 2
∂x 3 ∆x 3 ∂x∂y ∆x.∆y
î

(3.1)

O Método de Elementos Finitos é bem mais recente que o anterior, sendo mais
genérico, e podendo ser aplicado a complexas estruturas geométricas e a ambientes com
várias mudanças de meio. Ele possui uma formulação matemática maistrabalhada,
sendo, portanto, um conjunto de técnicas e métodos que se baseia na discretização do
problema em elementos pequenos e na aproximação de cada elemento por um conjunto
de polinômios.
Considere, primeiramente, o problema formado por equações diferenciais
ordinárias (EDO’s). Existem dois tipos. Um deles, é o problema de valor inicial, que

1

assume a forma geral abaixo:
F[ t, y(t),y´(t) ] =0, t>0
t=t0, y=yo, y´=y´0

(3.2)

Onde, o t é a variável independente, usualmente o tempo; y é um vetor de variáveis
dependentes; y´ é a sua derivada em relação a t; F é um vetor de funções de t, y, e y´; e,
finalmente, yo e y´o são vetores que representam as condições iniciais do problema. Notese, que o domínio da variável t é semi-infinito, e que a solução deste problema deverá serobtida marchando-se no tempo, a partir da condição inicial. Caso exista, pelo menos, uma
função dentro do vetor F que não dependa de nenhum elemento do vetor y´, a equação
representa um sistema de equações algébrico-diferenciais (sistema de EAD). [68]
O outro tipo de problema é o do valor de contorno, que assume a seguinte forma
geral para sistemas de segunda ordem:
F[ x, y(x), y´(x), y´´(x) ]= 0, xo 1
j
i
j
i
ïi
î

(3.29)

Nela, Ci, ai e bi são coeficientes a serem determinados. Usando a equação acima,
e ou igualando-a à série de Taylor, determinamos estes coeficientes para a diversa ordem
de Runge-Kutta. Mostra-se, que Runge-Kutta é, na verdade, uma variação do Método das
Diferenças Finitas. Por exemplo:
Para segunda ordem: C1+C2=1, aC2=1/2 e bC2=1/2. Se escolhermos...
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