Derivada

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Assim sendo, o nível de água está subindo a uma taxa de π25 32m/min quando a profundidade da

Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas envolvendo taxas relacionadas. 1. Faça uma figura, se isso for possível. 2. Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem de t. 3. Escreva todos os fatos numéricos conhecidossobre as variáveis e suas derivadas em relação à t. 4. Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. 5. Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4. 6. Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da quantidade desejada.

Vimos que a interpretação geométrica de derivada de uma função é a inclinação da retatangente ao gráfico da função em um ponto. Esse fato possibilita-nos aplicar derivadas como recurso auxiliar no esboço de gráficos. Por exemplo, podemos usar a derivada para determinar os pontos onde a reta tangente é horizontal; esses são os pontos onde a derivada é zero. A derivada também pode ser usada para encontrarmos os intervalos nos quais a função está acima ou abaixo da reta tangente.Discutiremos a seguir, de forma sucinta, a técnica para construção de gráficos com o auxílio das derivadas na análise de uma função.

Funções crescentes e decrescentes.

A taxa de variação de uma função y = f (x) em relação a x, é dada por y’ = f' (x). Quando x cresce num intervalo, y cresce se y' for positiva e decresce se y’ for negativa.

Na Fig.2, a curva y = f (x) está subindo de A para C,de D para F e de H para I. É, claro que a função é crescente nos intervalos a < x < c, d < x < f, e h < x < i. Analogamente, a curva está descendo de C para D e de F para H, e a função é decrescente nos intervalos c < x < d e f < x < h.


Fig 2.

Valores críticos e Máximos e Mínimos relativos

Os valores críticos para uma função y = f(x) são valores de x, para os quais a função é definida enos quais y’ = 0 ou se torna infinita. Na Fig. 2, B, C, D, F e H são pontos críticos da curva e suas abscissas x = b, x = c, x = d, x = f e x = h são valores críticos para a função.

Uma função y = f (x) tem um valor máximo relativo para x = x0, se f (x0) for maior do que os valores que imediatamente o precedem e sucedem na função. Quando x aumenta, passando por x = x0, f (x) varia, passando decrescente para decrescente e f'(x) muda o sinal de positivo para negativo.

Uma função y = f (x) tem um valor mínimo relativo para x = x0, se f (x0) for menor do que os valores que imediatamente o precedem e sucedem na função. Quando x aumenta, passando por x = x0, f (x) varia, passando de decrescente para crescente e f'(x) muda o sinal de negativo para positivo.

Na Fig. 2 C e F são pontosmáximos e suas ordenadas são valores máximos da função correspondente. Do mesmo modo, D e H são pontos mínimos e suas ordenadas são valores mínimos da função. Pontos de máximos e mínimos de uma curva são pontos críticos, porém um ponto crítico não é, necessariamente, um ponto de máximo ou mínimo; assim, B é um ponto crítico, porém, não é máximo nem mínimo.

Testes para máximos e mínimos de y=f(x)Método da Primeira Derivada: a) Achar f'(x) e os valores críticos.

b) Fazer x crescer passando pelos valores críticos. Para um valor crítico x = x0, f (x) passa por um máximo [ = f (x0)] se f' (x) passar de + para –; f (x) passa por um mínimo [ = f (x0)] se f' (x) passar de – para +; f (x) não passa por máximo nem mínimo se f' (x) não trocar de sinal

Método da Segunda Derivada. a) Acharf'(x) e os valores críticos. b) Achar a segunda derivada f"(x).

c) Para um valor crítico x = x0 f(x) passa por um máximo [= f(x0)] se f"(x0) < 0 f(x) passa por um mínimo [= f(x0)] se f"(x0) > 0 O teste falha se f"(x) = 0 em x = x0 ou se torna infinita.

Concavidade e ponto de inflexão

Um arco de uma curva é côncavo para cima se, em todos os pontos, o arco fica acima da tangente. Quando x...
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