Conicas e quadricas

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QUADRICAS

Elipsoide
[pic]
[pic]
Imagem tridimensional de um elipsóide

Em matemática, um elipsoide (pré-AO 1990: elipsóide) é um sólido que resulta da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos. A equação de um elipsóide num sistema decoordenadas cartesiano x-y-z é

[pic]
onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsóide. Sedois dos números são iguais, o elipsóide é um esferóide; se os três forem iguais, trata-se de uma esfera.

Supondo a ≥ b ≥ c, então:

▪ a ≠ b ≠ c : o elipsóide é escaleno
▪ c = 0 : o elipsóide é plano (duas elipses em simetria)
▪ b = c : esferóide em forma de charuto
▪ a = b : esferóide em forma de comprimido
▪ a = b = c : esfera
▪ Volume
O volume de umelipsóide é dado por[1]:

[pic]
Área da superfície

A área da superfície tem uma fórmula mais complexa, dada por:

[pic]
em que

[pic]
[pic]
[pic]
e [pic] e [pic] são os integrais elípticos incompletos do segundo e terceiro tipos.

Fórmulas aproximadas:

Elipsóide plano: [pic]
Se [pic]: [pic]Se [pic]: [pic]
Se o elipsóide é escaleno: [pic]
onde p ≈ 1.6075 resulta num erro relativo máximo de cerca de 1.061% (fórmula de Knud Thomsen); um valor de p = 8/5 = 1.6 resulta bem para praticamente todos os elipsóides esferóides, com erro relativo máximo de 1.178% (fórmula de David W. Cantrell).

Transformações lineares

Ao aplicar uma transformação linear invertível a umaesfera, obtém-se um elipsóide

A intersecção de um elipsóide com um plano é um conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.

Aplicação em cartografia

Nas ciências cartográficas, os elipsóides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos pólos, ao contrário das esferas. As projecções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais.Hiperbole de uma folha



Sua equação é dada por

[pic]
[pic]
Os traços nos planos [pic] e [pic] são hipérboles e o traço no plano [pic] é a elipse


[pic]


Além disso, se [pic] o hiperbolóide é chamado de hiperbolóide de revolução de uma folha e pode ser gerado pela rotação das hipérboles


[pic]

em torno do eixo [pic].

ii) Hiperbolóide de umafolha na direção do eixo [pic]:

Sua equação é dada por

[pic]


[pic]
Os traços nos planos [pic] e [pic] são hipérboles e o traço no plano [pic] é a elipse


[pic]


Além disso, se [pic] o hiperbolóide é chamado de hiperbolóide de revolução de uma folha e pode ser gerado pela rotação das hiperbóles


[pic]
em torno do eixo [pic].

iii) Hiperbolóide de uma folha na direção doeixo [pic]:

Sua equação é dada por

[pic]

Os traços nos planos [pic] e [pic] são hipérboles e o traço no plano [pic] é a elipse 


[pic]


Além disso, se [pic] o hiperbolóide é chamado de hiperbolóide de revolução de uma folha e pode ser gerado pela rotação das hiperbóles


[pic]
em torno do eixo [pic].


Observação 1: Em todos os casos, a classificação de uma quádrica é feitatomando-se o segundo membro da equação igual a [pic].


Observação 2: Note que o hiperbolóide de uma folha estende para o eixo em que há o sinal negativo. 


Se o centro do hiperbolóide de uma folha é ponto [pic], através de translação de eixos, os termos


[pic]
são substituídos pelos termos


[pic]


Exemplo 1: Complete quadrados e escreva a quádrica abaixo na forma padrão. Emseguida, indique seu centro e classifique-a.


[pic]

Resolução: Note que


[pic]


[pic]
e que

[pic]


Substituindo estas expressões na equação dada, temos:


[pic]


[pic]


[pic]

Portanto, trata-se de um hiperbolóide de uma folha, de revolução em torno do eixo [pic],centrado no ponto[pic].

O hiperbolóide de uma folha é usada na construção civil. Por exemplo, é...
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