conicas e quadricas

CÔNICAS

E QUÁDRICAS

Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga

11.1 CÔNICAS
Pierre de Fermat (1601-1665) estabeleceu o princípio fundamental da Geometria Analítica, segundo o qual, uma equação do 1º grau, no plano, representa uma reta, e uma equação do 2º grau, no plano, representa uma cônica.
Portanto chamamos de cônicas ao lugar geométrico dos pontos do ℝ2 cujas coordenadas (x,y), em relação à base canônica, satisfazem à equação do 2º grau: ax2  by 2  2cxy  dx  ey  f  0

Cônicas são curvas originadas de cortes de cones.
Dependendo do corte podemos ter:

11.1.1 PARÁBOLA
Consideramos um ponto F e uma reta d que não contém F.
Denominamos parábola de foco F e diretriz d ao lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de d e F. d (P , F )  d (P , d )
1
1

11.1.1.1 ELEMENTOS

equidistam de d e F.

DA PARÁBOLA

11.1.1.2EQUAÇÕES

CANÔNICAS DA

PARÁBOLA

11.1.1.2.1

EIXO DE SIMETRIA COINCIDE
COM O EIXO X
Na figura tem-se uma parábola de concavidade voltada para a direita representada no sistema cartesiano xOy. A diretriz tem p equação x   .
2
P(x,y) é um ponto genérico da parábola.  p 
 p  é o foco. P '   , y  é o pé
F  ,0
 2 
2  da perpendicular baixada do ponto P sobre a diretriz.

Por definição: d ( P, F )  d ( P, P ') p 2 p 2
2
( x  )  ( y  0)  ( x  )  ( y  y ) 2
2
2

Elevando ambos lados ao quadrado e desenvolvendo os produtos notáveis, temos: 2
2
p p 2
2
x  px 
 y  x  px 
4
4
2

y 2  2 px

equação canônica (reduzida ou padrão) da parábola com vértice na origem e cujo eixo de simetria é o eixo x.

11.1.1.2.2

EIXO DE SIMETRIA COINCIDE
COM O EIXO Y

Na figura tem-se uma parábola de concavidade voltada para a direita representada no sistema cartesiano xOy. A diretriz tem equação y   p .
2
P(x,y) é um ponto genérico da parábola. p

 p
P '  x,  
F  0,  é o foco.
2  é o pé

 2
da