Aula derivada 1

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Derivabilidade e Continuidade Regras de Deriva¸˜o ca

A Derivada

Bras´ 2o semestre de 2009 ılia,

Universidade de Bras´ - Faculdade do Gama ılia

A Derivada

Derivabilidade e Continuidade Regras de Deriva¸˜o ca

Conte´do u

Derivabilidade e Continuidade Regras de Deriva¸˜o ca

A Derivada

Derivabilidade e Continuidade Regras de Deriva¸˜o ca

Derivabilidade e Continuidade
Considere a fun¸˜o f(x) = |x|. Responda as seguintes quest˜es: ca o

f (x) possui limite em x = 0? f (x) ´ cont´ e ınua em x = 0? Qual ´ a derivada de e f (x)? Quanto vale f (0)?

y
5 3

f=|x|
1 -2 2

x

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Outro exemplo
Considere a fun¸˜o f (x) = x 1/3 . Responda as seguintes quest˜es: ca o

f (x) ´ cont´ e ınua em x = 0? Qual ´ a derivada de e f (x)?-2

y
1

2 -1

Quanto vale f (0)? Qual a equa¸˜o da reta ca tangente ` f (x) em a x = 0?

f=x

1/3

x

A Derivada

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Teorema

Se uma fun¸˜o f ´ deriv´vel em um ponto de abscissa x = a, ca e a ent˜o f ´ cont´ a e ınua nesse ponto.

A Derivada

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Teorema

Se uma fun¸˜o f ´ deriv´vel em um ponto deabscissa x = a, ca e a ent˜o f ´ cont´ a e ınua nesse ponto.
Prova: Por hip´tese, o limite f (a) = lim o tamb´m existe; e
x→a

f (x) − f (a) existe. Portanto, f (a) x −a

A Derivada

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Teorema

Se uma fun¸˜o f ´ deriv´vel em um ponto de abscissa x = a, ca e a ent˜o f ´ cont´ a e ınua nesse ponto.
Prova: Por hip´tese, o limite f (a) = lim otamb´m existe; e
x→a x→a

f (x) − f (a) existe. Portanto, f (a) x −a

lim [f (x) − f (a)] = lim (x − a)
x→a

f (x) − f (a) = lim (x − a)f (a) = 0; x→a x −a

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Teorema

Se uma fun¸˜o f ´ deriv´vel em um ponto de abscissa x = a, ca e a ent˜o f ´ cont´ a e ınua nesse ponto.
Prova: Por hip´tese, o limite f (a) = lim o tamb´m existe; e
x→ax→a

f (x) − f (a) existe. Portanto, f (a) x −a

lim [f (x) − f (a)] = lim (x − a)
x→a

f (x) − f (a) = lim (x − a)f (a) = 0; x→a x −a

Logo lim [f (x) − f (a)] = 0 ⇒ lim f (x) = f (a);
x→a x→a

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Algumas conclus˜es o
O teorema anterior nos garante que se a derivada existe em um ponto, ent˜o a fun¸˜o ´ cont´ a ca e ınua nesse ponto; ´ Eimportante ressaltar que o contr´rio nem sempre ´ verdade a e (vide exemplos anteriores!); Uma fun¸˜o pode deixar de ser deriv´vel em um ponto se: ca a
1. a fun¸˜o for descont´ ca ınua no ponto (teorema anterior); 2. a tangente for uma reta vertical (limite da raz˜o incremental a quando o incremento tende a zero ´ ±∞); e e 3. n˜o existe tangente bem definida no ponto (como ´ o caso da a e fun¸˜omodular em x = 0, que tem um “bico”). ca

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Conte´do u

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Teoremas sobre deriva¸˜o de fun¸˜es alg´bricas ca co e

(i) Seja f : R → R, tal que f (x) = c, em que c ´ uma constante. e Nesse caso, f (x) = 0

A Derivada Derivabilidade e Continuidade Regras de Deriva¸˜o ca

Teoremas sobre deriva¸˜o de fun¸˜es alg´bricas ca co e

(i) Seja f : R → R, tal que f (x) = c, em que c ´ uma constante. e Nesse caso, f (x) = 0

(ii) Seja f : R → R, tal que f (x) = x n , em que n ∈ N∗ . Nesse caso, f (x) = nx n−1

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Teoremas sobre deriva¸˜o de fun¸˜es alg´bricasca co e
(iii) Seja V ⊂ R, f : V → R, tal que f (x) existe, e c ∈ R tal que c ´ uma constante. Se a fun¸˜o g for definida por e ca g (x) = c · f (c), ent˜o a g (x) = c · f (x); Exemplos: Determine a derivada das fun¸˜es abaixo. co 1. f (x) = 7

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Teoremas sobre deriva¸˜o de fun¸˜es alg´bricas ca co e
(iii) Seja V ⊂ R, f : V → R,...
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