Aula derivada 5

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O Logaritmo Natural

A Fun¸˜o Logaritmo Natural ca

Bras´ 2o semestre de 2009 ılia,

Universidade de Bras´ - Faculdade do Gama ılia

A Fun¸˜o Logaritmo Natural ca

O Logaritmo Natural

Conte´do u

OLogaritmo Natural

A Fun¸˜o Logaritmo Natural ca

O Logaritmo Natural

Defini¸˜o ca
O logaritmo natural ´ definido como uma fun¸˜o que para cada e ca valor de x ∈ (0, ∞) retorna o valor da ´reacompreendida entre a a curva y = 1/x e o eixo das abscissas, computada a partir de x = 1. Defini-se ainda que x > 1 ⇒ ln(x) > 0 e x < 1 ⇒ ln(x) < 0.

y=1/x

y

D = {x ∈ R; x > 0}

ln(1 ) =0 ln(b ) <0 ln(a )>0

ln(1) = 0
b

x

1

a

A Fun¸˜o Logaritmo Natural ca

O Logaritmo Natural

Derivada da fun¸˜o logar´ ca ıtmica
´ ´ ´ AreaABEF < Areaazul < AreaACDF ⇓ h· 1 1 < ln(x + h) − ln(x) < h · x +h x ⇓ 1ln(x + h) − ln(x) 1 < < x +h h x Teorema do confronto ⇒ lim
1/x 1/(x+h) C B A x x+h D E F

ln(x + h) − ln(x) 1 = h→0 h x

d 1 ln(x) = dx x
A Fun¸˜o Logaritmo Natural ca

O Logaritmo NaturalPropriedades
(i) Se f ´ uma fun¸˜o diferenci´vel, ent˜o e ca a a d 1 df ln(f ) = dx f dx

(ii) Se a ´ uma constante real, ent˜o e a 1 d ln(ax) = dx x

(iii) d 1 ln(|x|) = dx x
A Fun¸˜o Logaritmo Natural ca

OLogaritmo Natural

Propriedades
(iv ) Se a e b forem n´meros positivo quaisquer, ent˜o u a ln(ab) = ln(a) + ln(b) Prova:
• Da regra da cadeia 1 1 d d ln(ax) = a= = ln(x); dx ax x dx 1 ; x • Portantoln(ax) = ln(x) + C , onde C ´ uma constante; e • Fazendo x = 1, vemos que C = ln(a); • Usando esse resultado e fazendo x = b obtemos a propriedade; • Logo ln(ax) e ln(x) s˜o ambas primitivas de a

AFun¸˜o Logaritmo Natural ca

O Logaritmo Natural

Propriedades
(v ) Se a ´ um n´mero positivo, ent˜o e u a ln Prova:
• ln(1) = ln(a/a) = ln(a · 1/a) = ln(a) + ln(1/a) = 0 • Portanto, ln(1/a) = −ln(a)1 a

= −ln(a)

(vi) Se a e b s˜o n´meros positivos, ent˜o a u a ln Prova:
• ln(a/b) = ln(a · 1/b) = ln(a) + ln(1/b) = ln(a) − ln(b)
A Fun¸˜o Logaritmo Natural ca

a b

= ln(a) − ln(b)

O Logaritmo...
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