Aula derivada 3

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Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

A Derivada

Bras´ 2o semestre de 2009 ılia,

Universidade de Bras´ - Faculdade do Gama ılia

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Conte´do u

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes e racionais

A Derivada

Derivada da fun¸˜o compostaca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Derivadas de fun¸oes compostas c˜
Em cada caso, observe que a fun¸˜o dada ´ a composi¸˜o de duas ca e ca outras, de tal forma que f = g ◦ h. Identifique as fun¸˜es g e h e co derive as fun¸˜es f , g e h. co f (x) = sen(2x)

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Derivadas de fun¸oes compostasc˜
Em cada caso, observe que a fun¸˜o dada ´ a composi¸˜o de duas ca e ca outras, de tal forma que f = g ◦ h. Identifique as fun¸˜es g e h e co derive as fun¸˜es f , g e h. co f (x) = sen(2x) f (x) = √ 3x + 1

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Derivadas de fun¸oes compostas c˜
Em cada caso, observe que a fun¸˜o dada ´ a composi¸˜o de duas cae ca outras, de tal forma que f = g ◦ h. Identifique as fun¸˜es g e h e co derive as fun¸˜es f , g e h. co f (x) = sen(2x) f (x) = √ 3x + 1

f (x) = (x 3 + 7)2

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

A Regra da Cadeia
Para efetuar as derivadas vocˆ precisou usar suas habilidades e alg´bricas ou a defini¸˜o de derivada; e ca No entanto, em todosos casos ´ poss´ verificar que a e ıvel resposta ´ e f (x) = g (h)h (x), ou, usando outra nota¸˜o, ca dg dh df = ; dx dh dx De fato, essa rela¸˜o prevalece em todos os casos em que a ca fun¸˜o g ´ deriv´vel em h(x) e a fun¸˜o h ´ deriv´vel em x; ca e a ca e a

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Demonstra¸˜o da regra da cadeia ca
Sejam asfun¸˜es f , g e h tais que g ´ deriv´vel em h(x), h ´ deriv´vel em x e co e a e a f = (g ◦ h)(x) = g (h(x)). Nessas condi¸oes c˜

f (x) = lim

∆x→0

g (h(x + ∆x)) − g (h(x)) ∆x

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Demonstra¸˜o da regra da cadeia ca
Sejam as fun¸˜es f , g e h tais que g ´ deriv´vel em h(x), h ´ deriv´vel em x e co e a e a f = (g ◦h)(x) = g (h(x)). Nessas condi¸oes c˜

f (x) = lim

∆x→0

g (h(x + ∆x)) − g (h(x)) ∆x

Multiplicando e dividindo a fra¸˜o do limite por h(x + ∆x) − h(x) e ca fazendo h(x + ∆x) − h(x) = ∆h, obtemos h(x + ∆x) = h(x) + ∆h e que f (x) = lim
∆x→0

g (h + ∆h) − g (h) h(x + ∆x) − h(x) ∆h ∆x

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Demonstra¸˜o da regrada cadeia (continua¸˜o) ca ca
Observe que se ∆x → 0, ent˜o ∆h → 0, logo, usando o teorema do a limite do produto de duas fun¸oes obtemos: c˜ f (x) = lim g (h + ∆h) − g (h) g (x + ∆x) − g (x) · lim ∆x→0 ∆h ∆x

∆h→0

Observamos finalmente que lim g (h + ∆h) − g (h) df = = Dh f = fh = f (h)... ∆h dh g (x + ∆x) − g (x) dg = = Dx g = gx = g (x)... ∆x dx

∆h→0

e que lim

∆x→0

df df dh Verificamos que f(x) = f (h)h (x) ou = ou qualquer outra dx dh dx nota¸˜o pertinente. ca

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Exerc´ ıcios
Calcule as derivadas das fun¸˜es abaixo: co 1. f (x) = 1 x2 + 1
2

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Exerc´ ıcios
Calcule as derivadas das fun¸˜es abaixo: co 1.f (x) = 1 x2 + 1
2

2. f (x) =

x 3 − 3x + 3 sin(x)

3

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Exerc´ ıcios
Calcule as derivadas das fun¸˜es abaixo: co 1. f (x) = 1 x2 + 1
2

2. f (x) =

x 3 − 3x + 3 sin(x)

3

3. f (x) = sin(2x 2 − 3)

A Derivada

Derivada da fun¸˜o composta ca Derivada da potˆncia para expoentes racionais e

Exerc´...
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