ATPS Calculo III

1 Introdução
O conceito de integral é mais antigo que o de derivada. Enquanto este surgiu no século XVII, à ideia de integral, como área de uma figura plana ou volume de um sólido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285-212a.C.)na antiguidade. Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica, não havia simbologia desenvolvida, portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um “calculo integral” sistematizado.
Devido a isto, os problemas que se punham eram os de calcular áreas, volumes e comprimentos de arcos. Por exemplo: suponhamos dada uma função f: [a; b] => IR, limitada no intervalo [a; b]. Admitamos, por simplicidade, que f seja não negativa, isto é, f (x) ≥ 0,  x IR. Consideremos o conjunto S={( x, y)  IR ²; a xb, 0 y f(x)},formadas pelos pontos compreendidos entre os eixos das abscissas, o gráfico de f e as retas verticais x = a e x = b. Qual a área deste conjunto? Em primeiro lugar, é necessário dizer o que significa a “área” de S, e em seguida, tentar calculá-la.
A área de um subconjunto limitado S no plano IR² deve ser um número real. Como defini-lo? Podemos admitir que sabemos calcular a áreas de polígonos e tomar como aproximações por falta deste número as áreas dos polígonos contidos em S. Isto equivale a pôr: a área de S é o supremo das áreas dos polígonos contido em S
.Poderíamos também considerar as áreas dos polígonos que contém S como aproximações por excesso para a área de S. Neste caso, definiríamos a área de S como o ínfimo das áreas dos polígonos que contém S. Porém, estes dois métodos de definir a área de S nem sempre conduzem a um mesmo resultado.
Ao considerar a área de um conjunto S podemos, por simplicidade, restringir nossa atenção a polígonos de um tipo especial, que chamaremos de polígonos retangulares, os quais são reuniões de retângulos justapostos cujos lados são paralelos aos eixos x = 0 e y =0. Mais particularmente ainda, se o conjunto S é determinado por uma função não