Arch/garch

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ARCH/GARCH

EXERCÍCIO 2 – ESTIMAÇÃO E PREVISÃO EM MODELOS ARCH/GARCH
1º Passo – Observação Gráfica: Série TIM S.A.
A série analisada é das ações da TIM SA. A série sugere evidências de não-estacionariedade, uma vez
que, sua média parece ser constante ao longo do tempo.
Abaixo encontram-se os gráficos em nível do preço da ação (TIM) e do retorno (DTIM), bem como,
suas respectivasestatísticas descritvas. Ao atentar-se às estatísticas, estas sugerem a nãonormalidade da série Yt (TIM), ilustrado pela histograma. Para a série ΔYt (dTIM), existem evidências
de estacionariedade, uma vez que, os dados inclinam-se para uma média de 0,0136, constante (o
gráfico apresentado exibe essa possibilidade) e próxima de zero. No entanto, a variância da série
parece não ser constante. Em Ytobserva-se um alto grau de curtose, o indica a presença de outliers.
Caso a ocorrência de outliers induza a um aumento da variação dos retornos subsequentes
verificamos a ocorrência de conglomerados de volatilidade, que são passíveis de serem
representadas através de uma estrutura ARCH/GARCH.

Para verificar se existe uma dependência no segundo momento desta série estuda-se a identificação
dasérie. Esta análise é feita na próxima seção.

2º Passo – Identificação
Neste passo precisamos identificar qual é o processo que representa a presente série, para tanto,
utilizar-se-á a metologia Box e Jenkins, tratada nos modelos ARIMA, no entanto não para a média,
mas sim, a variância.
Neste trabalho, a série Yt caracteriza o preço da ação em tempos t distintos. Se diferenciarmos a
série,então, ΔYt caracteriza o retorno das ações. Este retorno segue um processo martingale
diferença¹.
Queremos encontrar uma representação ARMA(p,q) estável ao longo do tempo para a variância
não-condicional, então teremos um modelo ARCH/GARCH. Para isso vamos então,
 observar o correlograma do quadrado dos resíduos do modelo suposto;
 verificar se a série tem média e resíduos não correlacionados,pois o mesmo vale para o
quadrado dos retornos da ação;
 estimar uma regressão de ΔYt contra uma constante;
 verificar a significância do coeficiente;
 verificar se o resíduo não possui autocorrelações significativas.

Tanto a regressão (baixo coeficiente) quanto o correlograma dos resíduos (significativa
autocorrelação dos resíduos) confirmam a hipótese de que os retornos seguem umprocesso
martingale diferença.
Observação: O período amostral foi reduzido em um mês devido o interesse na previsão.

¹ De maneira informal um processo Pt é um Martingale se os seus movimentos futuros, dado um conjunto de informações
passadas It, são completamente não previsíveis.
Ver: Introdução à Análise de Eventos Extremos.

Os resultados anteriores indicam que o processo de identificaçãodeve ser conduzido sobre a série
dos quadrados dos retornos.

O gráfico acima representa a série ΔYt² . A análise gráfica não sugere média condicional constante.
Segue abaixo, o correlograma da série, podemos perceber a presença de significativa de
autocorrelação.

Os dados acima apontam para uma dependência de quarta ordem. Adotando um intervalo de
confiança de 99% vamos fazer o teste LM(Multiplicador de Lagrange), a fim de verificar se o
quadrado dos resíduos anteriores influenciam no quadrado dos resíduos corrente, como isso é
similar à variância, conseguiremos testar a hipótese de heteroscedasticidade no modelo.
Lembrando que a estatística LM é: LM = T.R².
Consideraremos por ora as possibilidades de processos ARCH(2), ARCH(3) e ARCH(4). Abaixo seguem
as respectivasregressões.

A estatística LM segue uma distribuição Qui-Quadrado, para o IC adotado temos um nível de
significância de 1 %. Os dados obtidos ,para k =4,3,2, são: χ²(4) =13,28; χ²(3) = 11,3 e χ²(2) = 9,21.
Sendo T₄= 234, T₃ = 233 e T₂ = 234, tal que, T₄.R² =23,74, T₃R²= 17,54 e T₂.R²= 5,46. Estes valores
indicam que a presença de termos ARCH deve ser significativos a 1 % de significância...
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