Apostila derivadas

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CAPITULO III – DERIVADAS

1.1 Introdução

O Cálculo Diferencial e Integral, criado por Leibniz e Newton no século XVII, tornou-se logo de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável parainvestigação não-elementar tanto nas ciências naturais como humanas.

O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na resolução de problemas cotidianos.

Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam, entre eles podemos citar:

- A velocidade de umapartícula;
- O número de bactérias em uma cultura;
- O fluxo de uma corrente elétrica;
- A voltagem de um sinal elétrico, entre outros.

A derivada é uma ferramenta matemática utilizada para analisar e estudar as taxas segundo as quais variam estas grandezas.

Observamos na natureza inúmeras taxas de variações. Algumas delas são:

- A potência: a taxa de variação do trabalho em relação aotempo;
- A taxa de variação do raio de uma artéria em relação à concentração de álcool na corrente sanguínea;
- A taxa da variação da concentração de um reagente em relação ao tempo – (usado por químicos – taxa de reação)
- A taxa de variação do custo de produção de um determinado produto em relação à quantidade ou em relação ao tempo, entre outros.

Veremos neste curso que todas estastaxas de variação podem ser analisadas e interpretadas como inclinações de retas tangentes. Sempre que solucionarmos um problema de reta tangente estaremos solucionando uma grande variedade de problemas envolvendo taxas de variações como as citadas acima.

Texto dos Professores: Devanil Antonio Francisco e Elaine Cristina Ferruzzi


FALTA MATERIAL DE APLICAÇÕES DE CP

FALTA EXEMPLOS QUE ESTÃONOS SLIDES DE 12 DE MAIO DE 2007

FALTA APLICAÇÕES DO LIVRO DO CEFET
1.2. UMA DEFINIÇÃO

Sejam f uma função e p um ponto do seu domínio. Limites do tipo

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ocorrem de modo natural tanto na geometria como na física.

2. BREVE HISTÓRICO

Newton e Leibniz criaram, cada qual em seu país e quase ao mesmo tempo, as bases do cálculo diferencial.

O desenvolvimento do cálculodiferencial se deu a partir de dois problemas concretos:
• Como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva?
• Como obter a velocidade e a aceleração de um móvel, num dado instante, conhecendo a sua equação horária?


3. RAZÃO INCREMENTAL


Sejam x1 e x2 dois valores bem próximos de uma variável x e y1 = f(x1) e y2 = f(x2) os valores da função y = f(x) correspondentes a x1 ex2 respectivamente.

Chamamos de acréscimo da variável x à diferença [pic] e acréscimo da função y à diferença [pic] onde f(x1) e f(x2) são chamados respectivamente de valor inicial e valor acrescido da função y.

Exemplo: Sejam y = x2, x1 = 1,2 e x2 = 1,3.

Para [pic]

Assim [pic]

Chamamos de Razão Incremental RI ou Razão dos Acréscimos ao quociente:

[pic]

Assim, para o nossoexemplo, temos:

[pic]

Utilizando a disposição seguinte podemos escrever R.I. de uma forma geral.

| |Valor inicial |Valor acrescido |
|Variável |x |[pic] |
|Função |f(x) |[pic] |


Então:

[pic]




4. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO


Definição: Seja y= f(x) definida e contínua num intervalo I. Chama-se derivada da função f(x) à função f ' (x) onde:

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supondo existir o limite.

Usaremos também as seguintes notações para indicar a derivada da função y:

[pic]

Exemplos:

1) Se [pic] ??

[pic]

[pic]

2) Consideremos a função f(x) = x2 e calculemos a sua derivada.

Temos: [pic], assim:

[pic]

Portanto, [pic]...
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