apostila derivadas parciais 1

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Resumo com exercícios resolvidos do assunto:
(I)
(II)
(III)
(IV)

(I)

Derivadas Parciais;
Plano Tangente;
Diferenciabilidade;
Regra da Cadeia.

Derivadas Parciais

Uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é a sua derivada com respeito a uma daquelas variáveis, com as outras variáveis mantidas constantes. Para encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis F(x,y) ,por exemplo, primeiro derivamos em relação a x (considerando y uma constante), e depois derivamos em relação a y
(considerando x uma constante).
Notação:
Derivada parcial de F(x,y) em relação a x : 𝐹𝑥 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑓 (𝑥,𝑦)
𝜕𝑥

Derivada parcial de F(x,y) em relação a y : 𝐹𝑦 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑓 (𝑥,𝑦)
𝜕𝑦

Exemplo 1:
Se 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 2𝑦³ + 𝑥³𝑦², encontre 𝐹𝑥 2,1 e 𝐹𝑦 2,1 .
𝐹𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑥²𝑦² (𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
𝐹𝑥 2,1 = 4 + 12 = 16

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑦² + 2𝑦𝑥³ (𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
𝐹𝑦 2,1 = 6 + 16 = 22
Exemplo 2: Se 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 𝑦 , encontre 𝐹𝑥 𝑥, 𝑦 𝑒 𝐹𝑦 𝑥, 𝑦 .
Pela Regra da Cadeia, temos:
𝐹𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥 2 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 𝑦

𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 .

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 cos 𝑥 2 𝑦 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 .

Derivadas parciais de 2ª ordem:
São as segundas derivadas parciais de uma certa função com mais de uma variável , em relação a uma ou duas variáveis.Para funções com duas variáveis,existem quatro possibilidades de derivadas de segunda ordem, são elas:
𝜕²𝑓
𝜕𝑥 ²
𝜕²𝑓
=
𝜕𝑦 ²



Derivar com relação a x duas vezes: 𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 =



Derivar com relação a y duas vezes: 𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦



Derivar primeiro com relação a x e depois com relação a y: 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑥𝜕𝑦



Derivar primeiro com relação a y e depois com relação a x: 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕²𝑓

𝜕²𝑓

Exemplo:
Determine as derivadas