Gampo Gradiente

O Operador Gradiente Vetor André Gonçalves Antunha
(DEQ- EPUSP)

Consideremos, no espaço, um sistema de referencia de três eixos, que se cruzam em um ponto origem O, caracterizados pelos vetores ortogonais e sobre os quais são definidas respectivamente as coordenadas de posição x1 ,x2 ,x3 , como na figura:

Fig. 1 – Sistema de referência

A posição de um ponto P observado é definida pelo vetor: [1]

Fig. 2 Posição do Ponto P
Consideremos uma propriedade genérica j função do tempo t e da posição: a derivada da propriedade j, em um ponto P, na posicao , e em relação a o tempo é dada por: o símbolo ¶ e utilizado para explicitar que a derivada é parcial, isto é, que a derivada é realizada com variação apenas na variável considerada e mantendo-se todas as outras invariantes. No caso a derivada é apenas temporal mantendo-se constante a posição do ponto observado no espaço.
A derivada parcial da propriedade j, em um instante t, em relação aa posição é um vetor denominado gradiente de j , representado por e definida por: [2] novamente o símbolo ¶ explicita que a derivada é parcial e realizada com variação apenas na posição mas mantendo-se o tempo constante. É como se fosse um deslocamento do ponto observado no espaço sem que o tempo decorresse. É portanto um deslocamento virtual. A posição do ponto observado varia mas o tempo permanece “congelado”.
Figura 3 Deslocamento do ponto observado

A idéia de tempo congelado corresponde a de um instantâneo tal como aquele que se obtém de uma fotografia. Se imaginarmos que possamos fotografar uma propriedade j genérica no espaço tridimensional e que possamos apresenta-la na forma de superfícies que reunam os pontos que apresentam o mesmo valor dessa propriedade j. A cada uma dessas superfícies corresponde um determinado valor e denominam-se iso-superfícies de j.
Consideremos, apenas para facilidade de representação que a propriedade j esteja