Analise combinatoria

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INTRODUÇÃO

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.

Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análisecombinatória.

Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.

Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:

- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
-Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos.

ANAGRAMA

As permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, por isso diferem entre si somente pela ordem dos mesmos. 

Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutações simples de seus elementos são: 234, 243, 324, 342, 423 e 432. 

Indicamos o número de Permutações simples de n elementosdistintos por Pn = n!

Exemplo 1 

Quais os anagramas da palavra AMOR? 
Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras. 

Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. 
Pelo princípio fundamental dacontagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas. 
Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . . 

Exemplo 2 

Formar os anagramas a partir da palavra PATO 

Pelo Princípio Fundamental da Contagem podemos dizer que é possível formar 24 sequências. 
P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 

PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAO 
APTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPT 
TAPO TAOP TOPA TOAP TPAOTPOA 
OAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAP 

Exemplo 3 

Carlos e Rose têm três filhos: Sérgio, Adriano e Fabíola. Eles querem tirar uma foto de recordação na qual todos apareçam lado a lado. Quantas fotos diferentes podem ser registradas? 

A forma como irão se distribuir corresponde a uma permutação entre eles, então: 

P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas.

ARRANJO OUCOMBINANÇÃO?

Nas situações envolvendo problemas de contagem podemos utilizar o PFC (Princípio Fundamental da Contagem). Mas em algumas situações os cálculos tendem a se tornar complexos e trabalhosos. Visando facilitar o desenvolvimento de tais cálculos, alguns métodos e técnicas foram desenvolvidos no intuito de determinar agrupamentos nos problemas de contagem, consistindo nos Arranjos e nas Combinações.Vamos estabelecer algumas diferenças entre arranjos e combinações. Os arranjos são caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos. Já as combinações são caracterizadas pela natureza dos elementos.

Arranjos

Dado o conjunto B = {2, 4, 6, 8}. Os agrupamentos de dois elementos do conjunto B, são:

{(2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,8), (8,2),(8,4), (8,6)}

Veja que cada arranjo é diferente do outro. Portanto, são caracterizados:

Pela natureza dos elementos: (2,4) ≠ (4,8)
Pela ordem dos elementos: (1,2) ≠ (2,1)

Combinação

Em uma festa de aniversário será servido sorvete aos convidados. Serão oferecidos os sabores de morango (M), chocolate (C), baunilha (B) e ameixa (A) e o convidado deverá escolher dois entre os quatrosabores. Notemos que, não importa a ordem em que os sabores são escolhidos. Se o convidado escolher morango e chocolate {MC} será a mesma coisa que escolher chocolate e morango {CM}. Nesse caso, podemos ter escolhas repetidas, veja: {M,B} = {B,M}, {A,C} = {C,A} e assim sucessivamente.
Portanto, na combinação os agrupamentos são caracterizados somente pela natureza dos elementos.

Exemplo 1 –...
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