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de z = f (x), x = (x1, x2, . . . , xn ), no ponto a = (a1, a2, . . . , an ) na direção de um vetor unitário u = (u1, . . . , un ). Lembre-se que um vetor u é unitário se kuk = 1. Exemplo 1 Suponha que f (a) é a temperatura no ponto a numa sala com ar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos na direção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se movemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irá diminuir. A taxa de variação de z = f (x) em a na direção de u é a derivada direcional. Note que derivada direcional de depende tando do ponto a como da direção u na qual afastamos de a. Definição 2 Derivada Direcional Seja f : D → R uma função de n variáveis, isto é, D ⊆ Rn . Considere um ponto a no interior de D e u ∈ Rn um vetor com kuk = 1. A derivada direcional de f em a na direção u é Duf (a) = lim h→0 f (a + hu) − f (a) h , se esse limite existir. Observação A distância entre a e a + hu é |h|. Logo, o quociente f (a + hu) − f (a) h representa a taxa média de variação de f por unidade de distância sobre o segmento de reta de a à a + hu. Derivada Direcional e as Derivadas Parciais A derivada direcional generaliza as derivadas parciais no seguinte sentido. A derivada direcional de f em a na direção da i-ésima componente da base canônica, ou seja, ei = (0, . . . , 0, 1 |{z} , 0, . . . , 0) i -ésima componente é a derivada parcial de f em a com respeito à xi , ou seja, ∂f Dei f (a) = ∂x (a) = fxi

−→ R (x, y) → z = f (x, y) Vamos fixar y = y0 e, com isto, criar uma fun¸c˜ao da reta na reta, gy0 , definida como gy0 (x) := f (x, y0 ). Esta nova fun¸ca˜o definida ´e uma fun¸ca˜o real de vari´avel real, bem estudada em C´alculo 1A, para a qual sabemos aplicar o conceito de diferenciabilidade. Sendo assim, se gy0 for diferenci´avel em x0 , temos que existe gy0 (x0 ), a qual ´e dada pelo limite abaixo gy0 (x0 + h) − gy0 (x0 ) . h→0 h gy0 (x0 ) = lim Definimos ent˜ao a derivada…

Chama-se acréscimo total de w = f(P) no ponto P0 ao número real: ∆ w = f ( P) − f ( P0 ) = f ( x1 + ∆ x1 , x 2 + ∆ x 2 , K , x n + ∆ x n ) − f ( x1 , x 2 , K , x n ) . Vamos considerar os seguintes casos: 10 CASO: Para as funções de uma única variável x, isto é, y = f ( x ) , temos que P = x, P0 = x0 e ∆y = f ( x ) − f(x0) = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) . Geometricamente: y f(x0+∆x) f(x0) x0 x0+∆x x ∆ y f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo…

variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂x f (x + t, y, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂x t se o limite existe. 2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂y f (x, y + t, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂y t se o limite existe. 3. A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂z f (x, y, z…

Chama-se acréscimo total de w = f(P) no ponto P0 ao número real: ∆ w = f ( P) − f ( P0 ) = f ( x1 + ∆ x1 , x 2 + ∆ x 2 , K , x n + ∆ x n ) − f ( x1 , x 2 , K , x n ) . Vamos considerar os seguintes casos: 10 CASO: Para as funções de uma única variável x, isto é, y = f ( x ) , temos que P = x, P0 = x0 e ∆y = f ( x ) − f(x0) = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) . Geometricamente: y f(x0+∆x) f(x0) x0 x0+∆x x ∆ y f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo…

variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂x f (x + t, y, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂x t se o limite existe. 2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂y f (x, y + t, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂y t se o limite existe. 3. A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂z f (x, y, z…

variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂x f (x + t, y, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂x t se o limite existe. 2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂y f (x, y + t, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂y t se o limite existe. 3. A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂z f (x, y, z…

variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂x f (x + t, y, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂x t se o limite existe. 2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂y f (x, y + t, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂y t se o limite existe. 3. A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida…

variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂x f (x + t, y, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂x t se o limite existe. 2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂y f (x, y + t, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂y t se o limite existe. 3. A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por:…

dos pares ordenados (x, y) de números reais. Da Geometria analítica, sabemos que se fixando um sistema de coordenadas cartesianas num plano, por meio de dois eixos perpendiculares entre si, estabelecemos uma correspondência um-a-um entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. CONCEITOS RELATIVOS AO PLANO |R2 Distância Entre Dois Pontos Se A =(x1, y1) e B = ( x2, y2) são dois pontos de |R2, a distância entre A e B é dada por: d =dist(A, B) = [pic]…