Derivadas parciais

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DERIVADAS TOTAIS E PARCIAIS Def. 1: Seja w = f(P) = f(x1,x2, ... ,xn) uma função de n variáveis. Chama-se acréscimo total de w = f(P) no ponto P0 ao número real: ∆ w = f ( P) − f ( P0 ) = f ( x1 + ∆ x1 , x 2 + ∆ x 2 , K , x n + ∆ x n ) − f ( x1 , x 2 , K , x n ) . Vamos considerar os seguintes casos: 10 CASO: Para as funções de uma única variável x, isto é, y = f ( x ) , temos que P = x, P0 = x0e ∆y = f ( x ) − f(x0) = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) . Geometricamente: y f(x0+∆x) f(x0) x0 x0+∆x x

∆ y f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x0, x0 + ∆x] = ∆x ∆x f ( x0 + ∆ x) − f ( x0 ) dy ∆y e = lim = lim = f ′( x 0 ) = taxa de variação (instantânea) de y em relação dx ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x a x, a partir de x0, por unidade de variação de x. dy f′( x 0 ) = é a derivada total de y = f ( x ) no ponto x0. dx 1 1 Exemplo: Consideremos a função y = x , x0 = 9. Então, f ( x 0 ) = 3 e f ′( x 0 ) = = . 2 x0 6 Isto significa que se: (a) x 0 + ∆ x = 10, então f ( x 0 + ∆ x ) = 3 + 1/6; (b) x 0 + ∆ x = 11, então f ( x 0 + ∆ x ) = 3 + 2(1/6); (c) x 0 + ∆ x = 8, então f ( x 0 + ∆ x ) = 3 − 1/6. 20 CASO: Para as funções de duas variáveis x e y, isto é, z= f ( x , y ) , temos P = (x,y), P0 = (x0, y0) e ∆ z = f ( P) − f ( P0 ) = f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y 0 ) . Geometricamente: z f(x0+∆x,y0+∆y) ∆z f(x0,y0)

x0 x0+∆x x

P0

y0

y0+∆y P=(x0+∆x,y0+∆)

y

Neste caso, ∆z depende das variações de ∆x e de ∆y. Vamos considerar, então, que ∆z depende da distância do ponto P0 ao ponto P, d(P0,P), que representa o módulo do vetorP0 P = P − P0 . Portanto, por analogia, temos que: ∆z = taxa de variação média de z em relação às variações de x e y ou que, é a taxa de d ( P0 P ) variação média de z em relação à variação da distância entre P0 e P e, que, f ( P) − f ( P0 ) f ( x0 + ∆ x, y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) dz ∆z = lim = lim = lim ( ∆x ,∆y ) →( 0,0) d ( P0 P ) P → P0 d ( P0 P ) P → P0 P − P0 ∆x 2 + ∆y 2 é a taxa de variação(instantânea) de z em relação a x e a y, a partir do ponto P0, por unidade de distância de P0 a P. É, por analogia, chamada de derivada total de z = f(P) no ponto P0 e, em relação a x e a y. Exemplo: Calcular a derivada total de z = f ( x , y ) = 3x2y, no ponto P0 = (1,2). dz f (1 + ∆ x ,2 + ∆ y ) − f (1,2) 3(1 + ∆ x ) 2 (2 + ∆ y ) − 3(1) 2 2 lim = lim = ∆ →0 ou, x d ( P0 P ) ∆x → 0 ∆x 2 + ∆y 2 ∆x2 + ∆y 2
∆y → 0 ∆y → 0  → 

6 + 12 ∆ x + 3∆ y + + 6∆ x + 3∆ x 2 ∆ y − 6 12 ∆ x + 3∆ y + 6∆ x 2 + 3∆ x 2 ∆ y dz = ∆→ lim lim =∆→ x 0 x 0 d ( P0 P ) ∆x 2 + ∆y 2 ∆x 2 + ∆y 2
2 ∆y → 0 ∆y → 0

0 e não apresenta simplificação, vamos usar os 0 ∆x → 0 12 ∆ x + 6∆ x 2 ∆ x( 12 + 6∆ x ) lim caminhos: C1  ⇒ ∆x →0 = lim = 12 e ∆x → 0 ∆x  ∆y = 0 ∆x 2 ∆y =0 Como o limite apresenta a indeterminação ∆x = 0 3∆ y C2  ⇒ lim =3 ∆x = 0 ∆ y ∆y → 0
∆y → 0

Como os resultados são diferentes, não existe o limite. Isto é, esta função não tem derivada total no ponto (1,2). Obs.: Em geral, z = f ( x , y ) não tem derivada total. Mas, em particular, vamos considerar os resultados dos limites por caminhos, isto é, as derivadas por caminhos ou, as derivadas parciais, definidas por: Def. 2: Chama-sederivada parcial de z = f ( x , y ) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a x, ao número real f x ( x 0 , y 0 ) , definido por f ( x 0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) ∂z f x ( x 0 , y 0 ) = lim = ( x0 , y0 ) ∆x → 0 ∆x ∂x desde que o limite exista. Obs.: Usamos a letra d para indicar a derivada total. Para não confundir, usamos a letra d do alfabeto Ronde, ∂ , para indicar a derivada parcial.Analogamente, podemos ter a derivada parcial em relação a y, isto é:

Def. 3: Chama-se derivada parcial de z = f ( x , y ) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a y, ao número real f y ( x 0 , y 0 ) , definido por f ( x 0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ∂z f y ( x 0 , y 0 ) = lim = ( x0 , y0 ) ∆y →0 ∆y ∂y desde que o limite exista. Exemplos: 1) Determine as derivadas parciais de z = f ( x , y ) = 3x2y...
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