Derivadas parciais

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Capítulo 5

DERIVADAS PARCIAIS
5.1 Introdução
Definição 5.1. Sejam A ⊂ R3 um conjunto aberto e f : A −→ R uma função. 1. A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂x f (x + t, y, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂x t se o limite existe. 2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂y f (x, y + t, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂y t se o limite existe. 3. A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂z f (x, y, z + t) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂z t se o limite existe. De forma análoga são definidas as derivadas parciais para funções de duasvariáveis. Observe que o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x ∈ A é necessário que x + t ei ∈ A, onde i = 1, 2, 3; o que é verdadeiro se |t| < η (η > 0 pequeno). Veja a bibliografia.

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90 Exemplo 5.1.

CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

[1] Se z = f (x, y) = x y, calcule suas derivadas parciais. Estamos no caso n = 2: ∂f f (x + t, y) − f (x, y) (x + t) y − x y ty (x, y) = lim = lim = lim =y, t−→0 t−→0 t−→0 t ∂x t t f (x, t + y) − f (x, y) x (t + y) − x y tx ∂f (x, y) = lim = lim = lim = x. t−→0 t−→0 t−→0 t ∂y t t [2] Se w = f (x, y, z) = x2 y z 2 , calcule suas derivadas parciais. Estamos no caso n = 3: ∂f f (x + t, y, z) − f (x, y, z) (x + t)2 y z 2 − x2 y z 2 (x, y, z) = lim = lim t−→0 t−→0 ∂x t t 2 x y z 2 t + t2 yz 2 = 2 x y z2, = lim t−→0 t ∂f f (x, t + y, z) − f (x, y, z) x2(t + y) z 2 − x2 y z 2 (x, y, z) = lim = lim t−→0 t−→0 ∂y t t 2 z2 tx = lim = x2 z 2 , t−→0 t f (x, y, t + z) − f (x, y, z) x2 y (t + z)2 − x2 y z 2 ∂f (x, y, z) = lim = lim t−→0 t−→0 ∂z t t t2 x2 y + 2 t x2 y z = 2 x2 y z. = lim t−→0 t Observação 5.1. Seja y = c, fixado e consideremos g(x) = f (x, c); logo: g(x + t) − g(x) f (x + t, c) − f (x, c) ∂f = lim = (x, c); t−→0 t−→0 t t ∂x se h(y) = f(c, y), então: g′ (x) = lim h′ (y) = ∂f (c, y). ∂y

Analogamente para mais variáveis. Consequentemente, para derivar parcialmente uma função em relação a x, as demais variáveis são consideradas como constantes e a derivação é feita como em R. Em relação às outras variáveis o procedimento é análogo. Assim, todas as regras de derivação estudadas para funções em R podem ser aplicadas.

5.1.INTRODUÇÃO
Exemplo 5.2. [1] Se z = f (x, y) = x2 + y 2 , calcule suas derivadas parciais.

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Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Pela observa√ ção anterior consideramos z = x2 + c, onde c = y 2 ; derivando como em R: x ∂f (x, y) = √ = 2+c ∂x x analogamente para y: fazemos c = x2 : ∂f (x, y) = ∂y y c+ y2 = y x2 + y2 . x x2 + y2 ;

[2] Se z = f (x, y) = (x2 + y 2 )cos(x y), calcule suas derivadas parciais no ponto (1, π). Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Pela observação anterior consideramos z = (x2 + c2 ) cos(c x), onde y = c; derivando como em R: ∂f (x, y) = (x2 + c2 ) cos(c x))′ = 2 x cos(c x) − c (x2 + c2 ) sen(c x) ∂x = 2 x cos(x y) − y (x2 + y 2 ) sen(x y); analogamente para y: fazemos z = (c2 + y 2 ) cos(c y): ∂f ′(x, y) = (c2 + y 2 ) cos(c y) = 2 y cos(c y) − c (c2 + y 2 ) sen(c y) ∂y = 2 y cos(x y) − x (x2 + y 2 ) sen(x y)); ∂f ∂f (1, π) = −2, (1, π) = −2 π. ∂x ∂y [3] Se w = f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 + z 2 ), calcule suas derivadas parciais. Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Seja w = ln(x2 + c), onde c = y 2 + z 2 ; derivando como em R, temos: 2x 2x ∂f (x, y, z) = 2 = 2 ;∂x x +c x + y2 + z2 analogamente para y: fazemos c = x2 + z 2 e para z: c = x2 + y 2 : ∂f 2y 2y (x, y, z) = 2 = 2 ∂y y +c x + y2 + z2 [4] Se w = f (x, y, z) = sen e 2z ∂f 2z (x, y, z) = = 2 . ∂z c + z2 x + y2 + z2

xy , calcule suas derivadas parciais. z Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x; seja w = y sen(c x), onde c = ; derivando: z xy y ∂f (x, y, z) = c cos(c...
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