Transformação linear

Aulas 14
Transformações lineares
09 e 12–04–2013

Lourenço Gonçalves Jr

Objetivos: Objetivos:
Definir os conceitos de Transformação Matricial e Linear; Apresentar vários exemplos de Transformações Lineares; Reconhecer e Aplicar as Propriedades das Transformações Lineares.

• Função é um dos conceitos centrais na Matemática. • Em geral usa-se os termos função, aplicação e transformação como sinônimos. • Uma função é uma associação entre dois conjuntos A e B, envolvendo todos os elementos de A, mas não necessariamente todos os elementos de B, e que associa cada elemento de A à somente um elemento de B. • Esta maneira de ver uma função somente como uma associação é uma visão essencialmente estática.

Uma outra maneira de ver o mesmo conceito, porém mais dinâmica, é que uma função é uma transformação, que “leva” elementos do conjunto A em elementos do conjunto B, ou seja, “transforma” elementos de A em elementos de B.

Na Álgebra Linear, usa-se mais o termo Transformação do que função, especialmente no caso das transformações lineares.

Em resumo, uma Transformação de um espaço vetorial V em um espaço vetorial W é simplesmente uma função de V em W.

São de interesse especial as transformações lineares.

Começaremos definindo Transformações Matriciais e em seguida as Transformações Lineares.

Veremos que para transformações de Rn em Rm, os dois conceitos são equivalentes.

ObservaçõesObservações-1

ObservaçõesObservações-2

ObservaçõesObservações-3

ObservaçõesObservações-4

Mais exemplos de Transformações Lineares

ObservaçãoObservação-5

Não há uma matriz A tal que D =Ax. No entanto, veremos que toda

Propriedades das Transformações Lineares

ObservaçãoObservação-6

ObservaçãoObservação-7 Quando a base não é canônica

Atividades:
1) No exemplo-14 Determinar os vetores do R³ que tem imagem nula; 2) Para finalizar, vamos trabalhar num exemplo envolvendo espaço polinômios: