transformação linear

Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V  W é chamada transformação linear de V em W se satisfaz às seguintes condições:
I) T(u + v) = T(u) + T(v)
II)
T(u) T(u)
u,vV e   R.
 Em particular, uma transformação linear de V em V (ou seja, se W = V) é chamada operador linear sobre V.
Exemplos:
1) A transformação nula (ou zero) é linear: T

O O: V  W v
 O(v)  0 De fato: I) O(u + v) = 0 = 0 + 0 = O(u) + O(v)
II) O(u) = 0 =   0 =   O(u)
2) A transformação identidade é linear.
T  I v I v v
I V W


( )
:
 De fato:
I)
I(u  v)  u  v  I(u) I(v)
II)
I(u) u  I(u)
3) A transformação projeção de R
3
em R
2
é linear. x y z T x y z x y x z
T R R
  

( , , ) ( , , ) ,2
:
3 2

De fato:
I)
( ) ( , , ) ( , , ) 1 1 1 2 2 2 T u  v  T x y z  x y z  
       
 
   
( ) ( )
, 2 ,2
, 2 2
, 2
, ,
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
T u T v x y x z x y x z x y x y x z x z x x y y x x z z
T x x y y z z
 
     
      
      
    II)
T(u)  T( x, v, z)  
 
( )
,2
,2
T u x y x z x y x z


   

  
  
4) A função real F: R R, tal que F(u) = u
2
não é uma transformação linear. De fato: I)
   
2
F u  v  u  v 2 ( ) ( )
2 2
 u  v  uv  F u  F v II)
    ( )
2 2 2 F u  u  v  F