Transformações Lineares

Transformação Linear

UNIDADE 4 – TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis.
Por exemplo, se um 1 kg de soja é extraído 0,2 litros de óleo de uma produção de x kg de soja, então seriam extraídos 0,2x l de óleo. Na forma de função:
Q(x) = 0,2.x

Q = quantidade de litros de óleo de soja x = quantidade kg de soja
1) Para calcular a produção de óleo fornecida por (x1 + x2)kg de soja, tem-se:
Q(x1 + x2) = 0,2.(x1 + x2) = 0,2.x1 + 0,2.(x2)= Q(x1) + Q(x2)
2) Se a quantidade de soja for multiplicada por um fator k, a produção de óleo seria:
Q(kx) = 0,2.(kx) = k(0,2x) = k.Q(x)

Por outro lado, em termos de espaços vetoriais, um tipo especial de função em que o domínio e contradomínio da função são espaços vetoriais. As variáveis serão vetores. Essas funções vetoriais lineares são denominadas Transformações Lineares.
T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W (T: V → W) onde associamos vetores v є V com vetores w є W. Sendo T uma função para cada vetor v є V tem um só vetor imagem w є W indicado por w = T(v).
Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear é uma função de V em W que satisfaz as seguintes condições:
i) T(u + v) = T(u) + T(v) para qualquer u e v є V. ii) T(ku) = k.T(u) para qualquer k є R e v є V

Se as condições acima não são satisfeitas, dizemos que a transformação não é linear.
Exemplo 1: Se T: R → R tal que T(x) = 3x. Verifique se T é uma transformação linear?
Seja u = x1 e v = x2 onde u e v є R. Basta verificar as condições i) e ii).
i) T(u + v) = T(x1 + x2) = 3. (x1 + x2) = 3.x1 + 3.x2 = T(x1) + T(x2) logo T(u + v) = T(x1) + T(x2) = T(u) + T(v) ii) Para qualquer k є R, qualquer u = x1 є R;
T(ku) = T(k.x1) = 3.(kx1) = k.(3x1) = k.T(x1) = k.T(u)
Logo T(ku) = k.T(u)
Portanto, são satisfeitas as condições i) e ii). T é uma transformação linear.
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Exemplo 2: T: R → R onde T(x) = x . T é uma transformação linear?
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